§ 2. iNaherungsweise und mechanische Quadratur. 
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538. Korrektionsglied der Simpsonschsn Kegel. 
Wenn man für f(x) die Tavlorsche Entwicklung noch bis zu 
einer höheren Ordnung als in der letzten Nummer benutzt, 
kann man für die Simpson sehe Regel ein Korreläionsglieä ge 
winnen, dessen Mitberücksichtigung allgemein gesprochen eine 
größere Genauigkeit der Formel verbürgt. 
Die Simpsonsche Regel kommt ja darauf hinaus, daß man 
die Summe F der Flächen zweier aufeinanderfolgender Streifen, 
des Streifens von x 0 bis x 0 -f- 5 und desjenigen von a? 0 -f- 5 bis 
# 0 4-2b, durch den Wert 
(1) b [f(x 0 ) + 4/■(.«„ -f 5) + f(x 0 25)] 
ersetzt, während die wahre Summe F mittels der Taylorschen 
Entwicklung so dargestellt werden kann: 
wo 6 einen positiven echten Bruch bedeutet. Wir haben näm 
lich die Formel (3) der vorigen Nummer um zwei Glieder 
weiter entwickelt unter der Annahme, daß f(x) bis zur vierten 
Ordnung bestimmte endliche Ableitungen habe. Entwickeln 
wir f(x 0 -f 5) und f(x Q -j- 25) ebensoweit, so erhalten wir aus 
(1) einen Wert für 0, und es kommt: 
<E— F 
b 6 
4 
15 
f IT (%+ 2 eb), 
worin auch & und r\ positive echte Brüche sind. Man sieht 
hieraus, wenn f 1Y (x) stetig ist, daß 0 — F sogar in der fünften 
Ordnung mit 5 verschwindet, was wir schon in voriger Nummer 
ankündigten. Ferner ergibt sich: 
Hieraus schließen wir, daß bei geringen Breiten der Streifen 
mit großer Annäherung 0 — F gleich ^ 5 5 /“ 1 v (xf) sein wird. 
Daher dürfen wir 
0 - & b *f 1Y (xo) 
als einen im allgemeinen besseren Näherungswert als 0 be 
trachten. Weil 
•iv 
f'"(x 0 + 2b) — f'"(x 6 )