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Kap. V. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
der Kurve von x 0 bis x. Diese Bogenlänge s ist eine Funktion 
von x und hat die Ableitung: 
(6) 
Hiermit ist die Formel (1) von Nr. 193 exakt bewiesen. 
543. Definition der Bogenlänge einer Eaumkurve. 
Genau dasselbe Schlußverfahren läßt sich anwenden, wenn eine 
ebene Kurve mittels einer Hilfsveränderlichen t in der Form 
x = cp(t), y = t(t) 
gegeben ist, wobei cp und if> im Intervalle von t 0 bis T stetige 
Ableitungen haben sollen. Wir wollen dies aber sogleich ver 
allgemeinern, nämlich eine Rcmmlairve: 
x = a(t), y — xif), * — 
(1) 
ins Auge fassen (vgl. Nr. 251). Dabei sollen cp, im 
Intervalle von t 0 bis T stetige Ableitungen haben. 
Gehören nämlich zu t 0 und T die Endpunkte C und D 
eines Kurvenbogens, so schalten wir von t 0 bis T beliebige 
n — 1 Zwischenwerte t lf t 3 , ... t n _ 1 ein, zu denen wie in der 
früheren Figur 40, S. 291, n — 1 Kurvenpunkte M x , ... 
M n _i gehören, die wir aufeinanderfolgend durch Sehnen ver 
binden. Wenn allgemein t einer der Werte, etwa für M k , ist 
und zum nächsten Punkte M k+1 der Wert t + dt gehört, ist 
die Länge der Polygonseite 
(2) (^)'+ g*) + 
wo die Wurzeln positiv sein sollen, also M k M k+l positiv oder 
negativ gerechnet wird, je nachdem t 0 < T oder ¿ 0 > T ist, 
was mit der Festsetzung in Nr. 252 über den Fortschreitungs- 
sinn der Kurven im Einklänge steht. Dabei bedeuten dx, 
¿ly, dz die Zunahmen der Koordinaten x, y, z, wenn wir 
vom Punkte M k zum Punkte M k+1 übergehen. Nach dem 
Mittelwertsatze 3 von Nr. 28 ist nun 
(p(t+4t) — qp(Q 
Jt 
dx 
dt 
= cp'(t + 6 x dt) 
wo d t einen positiven echten Bruch bedeutet, und ebenso 
542, 543]