302 Kap. V. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
stehen, gibt es einen Winkel cp lf der den beiden Gleichungen 
genügt: 
(1) sin (2^—<p) = 7i; sin qp, cos (2cp 1 — <p) = Acp, 
weil die Summe der Quadrate ihrer rechten Seiten gleich Eins 
ist. Dabei ist cp x eine stetige Funktion von cp und verschwindet 
mit cp 7 denn wir können, weil Acp > 0 ist, vorschreiben, daß 
2 cpy—cp zwischen und 4 liege. Variiert cp von 0 
bis 4 oo, so gilt dasselbe von cp x , ebenso, wenn cp von 0 bis 
— oo variiert. Wird umgekehrt cp x angenommen, so gibt es also, 
wenn wir vorschreiben, daß 2cp x — cp zwischen — und 
-j- ~7t liegen soll, auch nur einen zugehörigen Winkel cp. Es 
ist daher auch cp eine stetige Funktion von cp x . Insbesondere 
gehört zu cp — 7t der Wert cp x — j7t. 
Multiplizieren wir die Gleichungen (1) mit — sin cp und 
cos cp oder mit cos cp und sin cp und addieren sie alsdann 
jedesmal, so kommt: 
cos 2 cpy = cos cp Acp — Je sin 2 cp, sin 2 cpy = sin cp(Je cos cp 4 Aqp). 
Hieraus folgt weiter: 
2 sin 2 cp x 
= 1 4 Je sin 2 cp — GO&CpAcpy 
(2) 
{ 2 sin cpy cos cpy 
— sin cp (Je cos cp 4 Acp). 
l 2 cos 2 cpy 
= 1 — Je sin 2 cp + cos cp Acp. 
Ferner 
ist nach der ersten Gleichung (1): 
(3) 
tg 
sin 2 cpy 
^ k 4 cos ‘Zcpi 
und 
(4) 
1+k *g<h- 
Setzen 
wir nun 
(5) 
7 2 yjfc 
** l+Ä’ 
Ay <Py=y 1 — Je x 2 sin 2 Cpy y 
wo beide Wurzeln positiv sein sollen, so liefert die erste 
Gleichung (2): 
(¿W-{ 
k cos cp 4 A cp V 
T+fc / 
Nun ist aber 
548] 
(Acpy — 7c 2 cos 2 cp — 1 — Jc~ > 0,