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§ 4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 303 
so daß also, weil auch. Acp > 0 ist, der Ausdruck k cos cp -j- A cp 
stets positive Werte hat. Mithin ergibt sich: 
k cos qp -)- A qp 
(6) 
Ai9l = 
1 -J- Je 
Setzen wir den hieraus folgenden Wert von k cos cp -f A<p in 
die zweite Gleichung (2) ein, so geht eine Formel für sin cp 
hervor. Aus (3) können wir darauf auch cos cp berechnen. 
Die Gleichung (6) liefert schließlich auch Acp. So kommt: 
CO 
Sill (p 
2 sin qp, cos qp, 
(1 -f- k) A,qp, ’ 
A cp 
cos cp = — 
2k . ä 
l + k sm ^ 
A i qpi 
r+fc sin8 ^ 
Ai <Pi 
Differentiation der ersten Gleichung (1) gibt mit Rück 
sicht auf die zweite: 
2 dcp t dep 
k cos qp -j- A cp A qp 
oder nach (6): 
d qp, 1 -f- k d cp 
A,qp, 2 A qp 
(8) 
Weil <p x mit cp verschwindet, folgt hieraus: 
(9) 
<APi 
&i<Pi 
dep 
A qp 
1-t-fe 
0 0 
Benutzen wir die in Nr. 546 eingeführte Bezeichnung (6), so 
gibt (9) die von Legendre aufgestellte Transformationsgleichung: 
(10) F(k t ,<p i ) = 1 -+-F(K'p)- 
Dabei bestehen zwischen cp und g> 1 die Beziehungen (1), 
während \ den in (5) angegebenen Wert hat. 
Vermöge dieser Formel wird ein elliptisches Normal 
integral erster Gattung durch ein elliptisches Normalintegral 
erster Gattung mit anderem Modul ausgedrückt. 
Insbesondere setzen wir noch cp = it. Da 
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FQc, «) -/0 - 2pS. _ 2F(l, *») 
[548