§ 4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 307 
Diese Beziehungen wurden vor der Entwicklung einer 
eigentlichen Theorie der elliptischen Integrale schon von Landen 
gefunden und sind unter dem Namen der Landenschen Trans 
formation bekannt. Andere hierhergehörende Sätze fanden 
Fagnano, Eider und Legendre. 
552. Eine Beziehung* zwischen den Umfängen 
dreier Ellipsen. Wir wollen hier noch ein von Legendre 
herrührendes Ergebnis ableiten: Wird in (1), Nr. 550 ; cp = tc, 
also cp 1 = (vgl. Nr. 548) gesetzt, so kommt: 
(1) (1 + Tc) E t (Je,) - 2E X (Je) - (1 - Je 2 ) F x (Je). 
Gehen wir von den elliptischen Integralen, die zu Je und Jc x 
gehören, zu denjenigen beiden zurück, die zu Je_ x und Je ge 
hören (vgl. Nr. 549), so kommt ebenso: 
(1 + Tc. t )F x (Je) = 2E X (Jc_ x ) - (1 - Jc_ x 2 ) F l (Je_ x ). 
Da aber nach (6) und (2) in Nr. 549 
771 n . >> F (*) 7 „ 2 — ie* — 2 1/1 - 
1 1(^-1) ~ 1 +Ä_ 1 f — Jfc* 
ist, geht die letzte Gleichung über in: 
VT^-k 2 E x (Je) = yi^k 2 (1 + l/r=T 2 ) E x (Je_ x ) - (1 - Je 2 ) F x (Je). 
Durch Subtraktion dieser Gleichung von (1) fällt F x (Je) heraus ; 
und es bleibt: 
(2) (1 +YT=W) E t (*_,) + (1 + k) E\ (S,) 
-(2+1/r 
Nun sind E x (Je_ x ), E x (Je) und E x (Je x ) die Längen der Quadranten 
dreier Ellipsen mit der großen Halbachse Eins und den Ex 
zentrizitäten Je_ x , Je und Jc x , nach Nr. 547. Also enthält die 
Gleichung (2) einen Satz über die Umfänge dieser drei Ellipsen. 
Wenn wir mittels der Rekursionsformel (2) von Nr. 549 
die nach beiden Seiten endlose Zahlenreihe .. . Jc_ 2 , Jc_ X) Je, Je xt 
Jc%, ... bilden und mit U n den Umfang derjenigen Ellipse be 
zeichnen, deren große Halbachse gleich Eins und deren Exzen 
trizität gleich Je n ist, gilt analog (2) die Beziehung: 
(3) VT=W n {\ +V1=K)P»-x+(i+*„)C. +1 -(2+yT=^)P,. 
20 * [551. 55»