553, 554] 
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Kap. V. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
553. Rektifikation der Lemniskate. Diese Kurve 
hat in Polarkoordinaten co, p nach dem 2. Beispiele, Nr. 534, 
die Gleichung: 
p 2 = 2a 2 cos 2a. 
(1) 
Hieraus folgt: 
2 i ( d ey = 2a * 
Q ' \ d m I oos 21 
<d co) cos 2 co 7 
also nach (1) in Nr. 545 das Bogendifferential: 
, a V 2 i 
ds = - ■ da. 
Die Wurzeln sind ebenso wie a positiv. Da p für a = + \n 
gleich Null wird, beschränken wir a auf das Intervall von 
— ~jt bis -fjjr, betrachten also nur die rechte Schleife der 
Lemniskate, siehe Fig. 29, S. 272. Die von 0 bis a erstreckte 
Bogenlänge 
läßt sich leicht durch ein elliptisches Integral ausdrücken. 
Führen wir nämlich vermöge der Substitution 
l . 
sin a = —= sin a> 
V 2 
(2) 
einen zwischen —und -\-\n gelegenen Winkel cp als neue 
unabhängige Veränderliche ein, so kommt: 
0 
d. h. der Lemnislmtenbogen ist ein elliptisches Normalintegral 
erster Gattung mit dem Modul 1: ]/2 (nach Nr. 448). 
554. Rektifikation der zweiteiligen Cassinischen 
Kurve. Die Lemniskate ist ein besonderer Fall der Cassinischen 
Kurve, nämlich des geometrischen Ortes derjenigen Punkte in 
der Ebene, deren Entfernungen von zwei festen Punkten F x 
und F 2 ein konstantes Produkt b 2 haben. Dabei sei 2 a die 
Entfernung der beiden festen Punkte voneinander. Ist ins- 
besondere b — a, so liegt eine Lemniskate vor.