4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 309 
Wenn die Mitte 0 von F ± F 2 der Pol der Polarkoordi 
naten co, p und OF l der Anfangsstrahl ist, liat die Cassinische 
Kurve die Gleichung: 
(1) p 4 — 2a 2 p 2 cos 2oo + a 4 = & 4 . 
Ist b < a, so zerfällt die Kurve in zwei symmetrische Ovale, 
von denen jedes einen der beiden festen Punkte umschließt, siehe 
Fig. 43; und wir wollen in dieser Nummer bei der Annahme 
b < a bleiben. Es gibt dann einen gewissen Winkel a zwischen 
0 und j-st, für den b 2 gleich a 2 sin 2a ist. Setzen wir diesen 
Wert von b 2 in (1) ein, so kommt: 
(2) p 2 == a 2 (cos 2 co + ]/cos 2 2 co — cos 2 2 a). 
Hiernach gehören zu jedem Werte von co zwischen — a und 
-f- cc zwei positive Werte von p. 
Ovals. Wird co zwischen a 
und jit oder zwischen — a 
und — fit gewählt, so wird 
p 2 imaginär. Für co = a und 
ebenso für co = — a fallen die 
beiden Werte von p zusammen. 
Daher sind a und — a die 
Winkel, die von der Geraden 
0F t mit den beiden von 0 aus 
gebildet werden. Es ergeben 
wenn co auf das Intervall von 
& 
Fig. 43. 
an das Oval gehenden Tangenten 
sich alle Punkte dieses Ovals, 
— a bis -f- a beschränkt wird. 
Zu jedem derartigen Werte von gj gehören zwei Bogen 
stücke s und 6 der Kurve im Intervalle von 0 bis co. Es 
sei s das äußere, 6 das innere. Beide werden positiv im Sinne 
wachsender Werte von co gerechnet; jedes einzelne darf also 
höchstens bis co = u oder co = — a erstreckt werden. Nach (1) 
in Nr. 545 ist: