310 Kap. Y. Quadratur und Rektifikation von Kurven, 
so daß sich ergibt: 
(3) s -f- <? = a]/2 sin 2 a /*— 
J V c 
da 
(4) 
*1/2 sin 2a 
'cos 2 £0 — cos 2 a ' 
da 
]/cos 2 cd -j- cos 2 a 
In diesen Formeln sind alle Wurzeln positiv. 
Es gibt nun einen Winkel cp zwischen —und 
derart, daß 
(5) sin tu = sin a sin cp 
ist, weil äs zwischen — a und + a liegt. Da ferner a zwischen 
0 und ~n liegt, gibt es einen Winkel th zwischen —\n und 
+ derart, daß 
(6) sin es == cos a sin ^ 
ist. In die Formel (3) führen wir vermöge (5) die neue Ver 
änderliche cp und in die Formel (4) vermöge (6) die neue 
Veränderliche $ ein. Alsdann kommt: 
s -f <3 = a sin 2 a 
— 6 = a sin 2 a / 
J i 
<p 
r 
dqp 
)/i- 
- sin 2 a sin*qp 
rV 
r - 
dip 
•cos-'asm 
F{sin a, cp) 
a sin 2 a ; 
jF(cos a, ifi) = 
a sin 2 a 
Jedes elliptische Normalintegral erster Gattung F(k, cp) oder F{Je, ip) 
ist daher, welchen Wert sein Modul Je auch haben mag, ausdrüclcbar 
durch die Summe oder Differenz zweier zivischen denselben Strahlen 
gelegener Bogen des einen Ovals einer zweiteiligen Cassinischen 
Kurve. Da ferner 
.s = sin 2a.[JF(sin a, cp) + ,F(cos a, ^)], 
\ö=^a sin 2a.[JF(sin a, cp) — F(cos a, tf)] 
ist, läßt sich jeder Bogen dieses Ovals, der am Strahle 0F 1 
beginnt, durch die Summe oder Differenz zweier elliptischer 
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, 
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