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§ 4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 311 
Normalintegrale ausdrücken 7 deren Moduln sin a und cos a sind, 
so daß die Summe der Quadrate der Moduln gleich Eins ist. 
Die Summe S der Umfänge beider Ovale der Cassinischen 
Kurve hat den Wert S — 4(s -f- tf), sobald <p in der ersten 
Formel (7) gleich gewählt wird. Nach der Bezeichnung (3) 
in Nr. 547 ergibt sich also: 
(10) S = 4a sin 2a .F x (sin a). 
555. Rektifikation der geschlossenen Cassinischen 
Kurve. Wir setzen jetzt voraus, daß & > a sei. Dann ist 
die Cassinische Kurve eine einzige, beide feste Punkte F 1 und 
Fa umschließende Kurve, siehe Fig. 44. Es gibt nun einen 
zwischen 0 und \tc gelegenen Winkel a derart, daß a 2 gleich 
sin 2 a ist und also aus (1) in voriger Nummer folgt: 
(1) q 2 = J) 2 sin 2 a (cos 2co -f-ycos 2 2ra -f ctg 2 2 a). 
Hier muß man die Wurzel ausschließlich positiv annehmen, 
denn wenn sie negativ wäre, würde q 2 < 0 sein. Der zu co 
gehörige Radiusvektor q soll 
positiv angenommen werden 
(vgl. Nr. 203). 
Geben wir a einen be 
stimmten Wert, so möges den 
zum Intervalle von 0 bis o 
gehörigen Bogen bezeichnen, 
dagegen <3 den zum Intervalle 
von j7t bis ca -f jtc gehörigen 
Bogen, also denjenigen Bogen, dessen Begrenzungsstrahlen aus 
denen des Bogens s durch positive Drehung um einen rechten 
Winkel hervorgehen. Beide Bogen s und <? werden im Sinne 
wachsender Werte der Amplitude positiv gerechnet. Alsdann 
folgt aus (1) in Nr. 545: 
CD 
a ! Vcos 2co -{-]/cos 2 2co4-egt 2 2a ^ ^ 
sin2oy ycos^ta -f- cgt*2a 
Fz 
O 
Fig. 44. 
V- 
cos 2 ca -f-}/cos 2 2(B-f- cgt 3 2a 
ycos 3 2a» -f- ctg*2 a 
[554, 555 
*9