§ 4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 313 
[555, 556 
Daher lassen sich ebensolche Schlüsse wie in voriger Nummer 
machen. 
Für G3=\jt ist s -f- 6 der Bogen eines Quadranten der 
Cassinischen Kurve. Alsdann ist cp nach (4) gleich ~jr, so daß 
(9) 5 = 46^(sin a) 
den gesamten Umfang der Kurve angibt. 
556. Andere Verallgemeinerung der Lemniskate. 
Daß nicht nur die Lemniskate, sondern allgemeiner jede Cassi- 
nische Kurve mittels elliptischer Integrale rektifizierbar ist, 
erkannte A. Serret. Von ihm rührt die Entdeckung einer aus 
gedehnten anderen Familie von Kurven her, die als speziellen 
Fall die Lemniskate enthält, und bei der die Rektifikation in 
entsprechenderWeise zu elliptischen Integralen führt. Die ein 
fachsten Kurven von dieser neuen Art lassen sich geometrisch 
wie folgt definieren: 
Es seien OP=a und PM=b zwei gegebene und in P 
gegeneinander bewegliche Strecken; der Endpunkt 0 sei fest. Per 
Punkt M soll sich so bewegen, daß seine 
Tangente beständig durch den sich zu 
gleich mit M verändernden Mittelpunkt 
K desjenigen Kreises geht, der dem be- 
iveglichen Dreiecke OPM umschrieben ist. 
Siehe Fig. 45. 
Wir wählen 0 zum Anfangspunkte 
und benutzen für den Kurvenpunkt M 
sowohl rechtwinklige Koordinaten x, y 
als auch die zugehörigen Polarkoordinaten 
co, q. Als unabhängige Veränderliche wollen 
wir den Winkel cp 
wählen, den das bewegliche Dreieck OPM an der festen Ecke 
0 hat. Dann ist 
(i) 
q 2 + a 2 — 2 p a cos cp = b 2 , 
d. h. 
(2) 
q = a cos cp -f- b Acp. 
wenn 
(3) 
A cp =j/l — |iSin 2 <p 
gesetzt wird. 
Diese Wurzel kann sowohl 
positiv als auch 
negativ sein. 
Ferner ist x — q cos co und y = 
= q sin ö, während