§ 4. Rektifikation einiger Kurven mittels elliptischer Integrale. 317 
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2. Beispiel, Nr. 534). Die Kurve, die wir betrachten, ist dem 
nach in der Tat eine Verallgemeinerung der Lemniskate. 
Die übersichtlichste Darstellung der Kurve geht aus (2) 
und (8) hervor, wenn man q und a durch die beiden Ver 
änderlichen cp und ip ausdrückt: 
(11) q = aeoscp + fccos^, tu = ^r;-- 6 - 8 cp + *P, 
wobei dann zwischen cp und tJj die Beziehung besteht: 
(12) asm cp — &sim/; = 0. 
Quadrieren wir die erste Formel (11) und die Formel (12) 
und addieren sie dann, so kommt: 
(13) p=]/a 2 -}-Z> 2 -t-2a & cos t, 
wenn cp -f ip = t gesetzt wird. Außerdem gibt (12), 
darin t — cp statt ip eingesetzt wird: 
cp = are tg 
b sin t 
a -)- b cos t * 
wenn 
so daß aus der zweiten Gleichung (11) folgt: 
(14) 
a* -f- & s , b sin t 
■ ■ 7 -g are tg —--- -- . 
a 2 —o 2 °a-f-ocosi 
In (13) und (14) liegt eine neue Darstellung der Kurve 
vor, indem die Polarkoordinaten q und ra darin als Funktionen 
der Veränderlichen t gegeben werden. Dabei bedeutet t = cp-j- ip 
den Außenwinkel des Dreiecks OPld bei P. Die Bogenlänge 
stellt sich jetzt nach (10) so dar: 
l 
- f - 
.1 yv+&* 
b dt 
-f- 2 a b cos t 
Führen wir den halben Winkel t als neue Veränderliche t ein, 
so kommt: t 
2ab p dt 
S a -\-b 
iab 
(a -f- fc) s 
ä sin- T 
so daß die Bogenlänge abermals durch ein elliptisches Normal 
integral erster Gattung dargestellt wird, dessen Modul jetzt aber 
2ya& :(« + &) ist. Dieser Modul liegt stets zwischen 0 und 1 
ob nun a oder b die längere von beiden Strecken ist.