332 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
mit den Halbachsen a und b der Wert nab. Nun ist aber das 
Produkt irgend zweier konjugierter Halbmesser der Ellipse mit 
dem Sinus ihres Winkels gleich dem Produkte ab. Also folgt: 
Sind a und b nicht die Halbachsen, sondern konjugierte Halb 
messer der Ellipse, die den Winkel a einschließen, so ist 
7tab sin a die Fläche der Ellipse. 
Aus einem Ellipsoid, von dem a, b, c drei konjugierte 
Halbmesser seien, möge nun durch zwei zur Ebene von b und c 
parallele Ebenen E 0 und E x ein Segment ausgeschnitten sein, 
dessen Volumen V berechnet werden soll. Nehmen wir a, b 
und c als Achsen für schiefwinklige Koordinaten x, y', z an, 
so ist bekanntlich die Gleichung des Ellipsoids 
so daß eine zwischen E 0 und E x eingeschaltete parallele Ebene 
mit der Abszisse x das Ellipsoid in einer Ellipse mit den 
konjugierten Halbmessern 
schneidet. Die Fläche dieser Ellipse ist: 
u = Tibc sin « ^ 
wenn a den Winkel von b und c bedeutet. Bildet die Ebene 
von b und c mit a den Winkel A, so hat das Lot x von 0 
auf die Ebene x' = konst. die Länge x = x sin A, so daß 
dx — sin Adx ist. Das Einsetzen dieser Werte und des Wertes 
u in die Volumenformel (1) der vorigen Nummer gibt 
) 
A(X' 
= Ttbc sin a sin 
wenn die Ebenen E 0 und E x die Abszissen x 0 ' und X' haben. 
Für xf= — a, X' = a geht das Volumen ^Ttabc sin a sinH 
des ganzen Ellipsoids hervor, also das |^-fache des Volumens 
des Parallelepipeds mit den Kanten a, b, c. 
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