§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 
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und dabei ist K nicht größer als x x und T nicht kleiner als y x . 
Wir haben also: 
(2) r ^ y x > J x > x, ^ K. 
Außerdem ist 
7i — l m — t 
OO Yi x i~ (ßn - 'ii) Oi+1 x i) (j/i+i Vt)‘ 
o o 
Hierin bedeutet g i{ — k u die Schwankung der Funktion f in 
dem Teilrechtecke mit der Anfaugsecke (x v y,). Wenn unter 
t x eine vorgegebene positive Zahl verstanden wird, können wir 
nach Satz 18, Nr. 486, annehmen, daß alle Teilrechtecke so 
klein gewählt seien, daß in ihnen die Schwankung g n — k u stets 
kleiner als r x wird. Dann folgt: 
(4) yi ^ Ki<tl (X-x Q )(Y-y 0 ). 
Denn wenn in (3) rechts statt g it — Jc it überall der größere 
Wert r 1 gesetzt wird, läßt er sich vor die Doppelsumme 
bringen, und die verbleibende Doppelsumme bedeutet dann als 
Summe der Flächen aller n. m Teilrechtecke die Fläche des 
Gesamtrechtecks AB CD 
Zusammengefaßt: Die auf die Zerlegung des Rechtecks A B CD 
bezügliche Doppelsumme J x liegt zwischen den Summen Xj 
und y x , die aus den Produkten aller Teilrechtecke mit den je 
weils kleinsten bzw. größten Werten von f in den Teilrecht 
ecken gebildet sind. Diese Summen x x und y x liegen ihrerseits 
zwischen den Produkten K und T aus dem Gesamtrechtecke 
und dem kleinsten bzw. größten Werte, den f im Gesamtrecht 
ecke annimmt. Außerdem ist die Differenz y x — x x kleiner als 
das Produkt des Gesamtrechtecks mit r 1 . 
Diese Ergebnisse entsprechen denen in Nr. 406, und wie 
dort schließen wir weiter. Wir nehmen nämlich eine endlose 
Folge von lauter beständig abnehmenden und nach Null 
strebenden positiven Zahlen r X7 r 2 , r 3 , . .. an. Alsdann können 
wir zwischen den schon benutzten Teilgeraden des Rechtecks 
neue, ebenfalls zu den Achsen parallele Teilgeraden so eng 
einschalten, daß die Schwankung von f in den hervorgehenden 
kleineren Rechtecken überall geringer als r 3 wird. Abermals 
schalten wir alsdann neue Teilgeraden so ein, daß die 
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