§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 345 
eine Teilgerade der zweiten verläuft. Wir haben dement 
sprechend zwei Doppelsummen J und e T zu betrachten. 
Wir greifen irgend eines der Teilrechtecke aßyd der 
ersten Zerlegung heraus, siehe Fig. 50, worin die starken Linien 
Teilgeraden aer ersten und die schwachen solche der zweiten 
Zerlegung bedeuten sollen. 
Wenn wir uns die positive 
ir-Achse und die positive y- 
Achse in den gewohnten Orien 
tierungen nach rechts und oben 
vorstellen, ist die Anfangsecke 
eines jeden Rechtecks die links 
unten gelegene, also die von 
aßyd der Punkt a. Diejenigen 
Rechtecke der zweiteyi Zerle 
gung, die ganz oder teils dem 
T3 0/ o 
Rechtecke aßyd angehören, 
haben als Anfangsecken die in der Figur markierten Punkte; und 
diese Punkte liegen sämtlich innerhalb derjenigen vier Recht 
ecke der ersten Teilung, die in a Zusammenstößen. Da nun 
die Schwankung von f innerhalb jedes dieser vier Rechtecke 
kleiner als r ist, hat f an den markierten Stellen Werte, die 
um weniger als r von demjenigen Werte f a abweiehen, den 
f an der Stelle a bekommt. 
Zur Summe J' gehören nun die Produkte der betrachteten 
Rechtecke der zweiten Teilung mit den Werten, die f jeweils 
an ihren Anfangsecken hat. Von diesen Rechtecken liegen 
aber einige nur teilweise im Rechtecke aßyd. Den zu einem 
solchen Rechtecke gehörigen Summanden von J' zerlegen wir 
deshalb in eine Summe. Z. B. gehört zu dem Rechtecke abcd 
der zuzeiten Teilung, das durch ad in aghd und gbch zer- 
zerschnitten wird, als Summand von J' das Produkt der Fläche 
abcd mit dem Werte f a von f für die Stelle a. Von diesem 
Summanden benutzen wir vorläufig nur das Produkt der zum 
Rechtecke aßyd gehörigen Fläche gbch mit f a . So machen 
wir es mit allen Summanden von J y , die sich auf Rechtecke 
beziehen, die ganz oder teilweise zu dem ausgewählten Recht 
ecke aßyd der ersten Zerlegung gehören. Die Summe aller 
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Fig. 50.