[571, 572 
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§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 
und dem Wertepaare x 0 , y Q des Bereiches reden können. Jedoch 
wäre der sprachliche Ausdruck dadurch unbeholfen geworden. 
Jedenfalls ist der Beweis eigentlich von den Hilfsmitteln der 
Veranschaulichung unabhängig, so daß der in Nr. 7 aufgestellten 
Forderung Genüge geleistet wird. 
572. Das Doppelintegral mit bestimmten Grenzen. 
Die Doppelsumme 
j =2 ( Xi+i ~ ^ ^ ,+i ~ 
ü 0 
können wir etw r as kürzer schreiben. Es bedeute x } y irgend 
eines der Wertepaare x if y v und es seien zIx und z1y die zu 
gehörigen Unterschiede x i+1 — x { und y l+i —y t zwischen dem 
Wertepaare x i + 1 , y l+1 und dem Wertepaare x it y r Alsdann 
schreiben wir die Summe symbolisch so: 
(1) ]£f( x , y)^ x ¿y- 
J X Jy 
Da alle Differenzen x i + 1 — x t und y l + 1 —y t positiv sind, stellen 
z1x und z1y dabei durchweg positive Größen vor. 
Die Doppelsumme J ist die natürliche Verallgemeinerung 
der in Nr. 404 u. f. betrachteten einfachen Summe J, die zu 
einer Funktion f von nur einer Veränderlichen gehört. In 
Analogie mit den Ergebnissen von Nr. 410 bezeichnet man 
den Grenzwert der Summe J, von dem in Satz 1 der vorigen 
Nummer die Rede war, als ein Doppelinteyrol: 
x r 
(2) lim limV yVO, y)4x ¿V — / y)clx dy. 
Jy Zo yo 
Um den Wert dieses Doppelintegrals zu berechnen, kann 
man so Vorgehen: In der Summe J fassen wir zunächst alle 
mit demselben Faktor y l+1 — y t oder zly behafteten Glieder zu 
sammen und ziehen aus ihnen den gemeinsamen Faktor heraus. 
Dann stellt sich J so dar: 
71? — X 
Oj+1 -V,)