§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale 
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Ebenso wie in Nr. 408 die Definition des einfachen be 
stimmten Integrals verallgemeinert wurde, kann also auch die 
des Doppelintegrals mit bestimmten Grenzen verallgemeinert 
werden, indem man zu Satz 1, Nr. 571 noch hinzufügt: 
Satz 3: Die in Satz 1, Nr. 571, vorliommende Doppelsumme 
hat hei dem dort erwähnten Grenz Übergänge denselben Grenzwert 
wie die Doppelsumme 
n —1 m —1 
y} y') 0.-+i - x i) (&+i - Vi) > 
0 0 
worin allgemein x\ y' bei dem mit % i+1 — x i und y,+ 1 — y l be 
hafteten Summanden irgend ein solches Wertepaar bedeutet, das 
dem Bereiche 
y^y'^yi+i 
angehört. 
574. Eine weitere Verallgemeinerung. 
Bereich . ^ v ^ ^ v 
Da der 
innerhalb dessen sich die Funktion f(x, y) stetig verhält, in der 
xy-Ebene durch ein Rechteck veranschaulicht wird, liegt es 
nahe, den Begriff der in 
Nr. 569 betrachteten 
Doppelsumme in fol 
gender Weise zu verall 
gemeinern: 
Innerhalb des Recht 
ecks werde ein Bereich 
E gewählt, der von 
einer geschlossenen, 
aber sich selbst nicht 
schneidenden stetigen 
Linie begrenzt sei, siehe 
Fig. 51. Schaltet man 
nun wie bisher zwischen x 0 und X sowie zwischen y 0 und Y 
irgendwelche Zwischenwerte x lf x 2 ,...x n _ t und y x , y 2 ,---y m -1 i n 
steigenden Folgen ein, so entstehen wieder Teilrechtecke. All 
gemein bezeichne e it das positiv gemessene Flächenstück, das der 
Bereich E mit dem Teilrechtecke gemein hat, dessen Anfangs- 
[573, 574