§ 2. Kubatur durch Doppeliutegxale. 
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*1 =2 uüd n ^2 2 g ^ iv 
R K 
Ist ferner K der kleinste und G der größte Wert, den die Funk 
tion f im Bereiche E (auch auf seinem Rande) erreicht, so ist 
jtj nicht kleiner als K und y 1 nicht größer als I", wenn man 
K -*22*» r = G 22 e » 
, F. F 
oder also kürzer 
K = KE, r = GE 
setzt, denn die Fläche E ist die Summe aller Flächen e ir 
Auch kommt: 
/’i x i 2j 2j^ u ^n) e u 
F. 
und daher, weil die Schwankung g u —h u < r 1 ist: 
y x —*i<x x E. 
Man erkennt also, daß die weitere Schlußfolgerung gerade so 
wie in Nr. 570 verläuft, d. h. daß in der Tat ein bestimmter 
endlicher Grenzwert der endlosen Folge J x , Jg, J 37 ... vor 
handen ist. 
Daß sich aber auch immer derselbe Grenzwert für die 
Doppelsumme ergibt, von welcher Art der ersten Zerlegung 
man auch ausgehen mag, wird wieder gerade so wie in Nr. 571 
bewiesen. Denn zu den dort für ein Teilrechteck abcd an- 
gestellten Überlegungen brauchen wir nur noch die ganz ent 
sprechende Betrachtung für ein Teilstück hinzuzufügen, das 
kein vollständiges Rechteck ist. 
Schließlich kann man auch genau so wie in Nr. 573 die 
Doppelsumme durch eine andere ersetzen: Man darf jedes Teil 
stück e u mit dem Werte multiplizieren, den die Funktion f an 
irgendeiner Stelle des e u enthaltenden Teilrechtecks annimmt, statt 
mit dem Werte, den sie an der Anfangsecke des Rechtecks hat. 
Dies wird wie in Nr. 573 bewiesen. Insbesondere also kann 
man als jene Stelle einen Punkt wählen, der zu e it gehört und 
daher innerhalb des Bereiches E oder höchstens auf seinem 
Rande liegt. 
575. Das Doppelintegral erstreckt über einen 
beliebigen Bereich. Ehe wir die Ergebnisse der letzten 
Serret-SchefferSjDlff.-u.Intejml-Eac'lm’img. VL 6. Auft. 23 [’574j 575