354 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
Nummer als Satz formulieren, erörtern wir noch einen Um 
stand: Wir nahmen an, daß sich die Funktion f(x, y) inner 
halb eines rechteckigen Bereiches 
stetig verhalte, und daß der Bereich E in diesem Rechtecke 
enthalten sei. Daß wir uns nicht auf die Voraussetzung 
beschränkten, daß f(x, y) bloß im Bereiche E stetig sei, hatte 
zwei Gründe: 
Erstens lagen Anfangsecken gewisser Teilrechtecke außer 
halb E, und zweitens wurde der Satz 18 von Nr. 486 über die 
Schwankung einer Funktion benutzt, und in diesem Satze trat 
ein rechteckiger Stetigkeitsbereich auf. Da wir die Teilrecht 
ecke beliebig klein annehmen können, wird der erste Grund 
hinfällig, sobald nur die Funktion f im Innern von E und 
auf dem Rande von E stetig ist. Was ferner den Satz über 
die Schwankung einer Funktion von zwei Veränderlichen be 
trifft, so bemerkt man sofort, daß der dafür in Nr. 486 ge- 
gegebene Beweis gerade so auch dann durchgeführt werden 
kann, wenn der Stetigkeitsbereich irgend ein Bereich E von 
endlichen Abmessungen ist. Es genügt hier die eine Bemerkung: 
Wenn x Q und X die Extreme der Abszisse und Y und y 0 die 
Extreme der Ordinate auf dem Rande von E sind, wählt man 
irgend eine ganze positive Zahl n aus und teilt sowohl das 
Intervall X — x 0 als auch das Intervall Y — y 0 in n gleiche 
Teile. Alsdann tut man dasselbe ohne Ende mit jedem ent 
standenen Teilintervalle. Die Teilgeraden zerlegen E in voll 
ständige und unvollständige Rechtecke, und man erkennt, daß 
für sie genau dieselben Schlüsse wie in Nr. 486 gelten, indem 
es nach einer endlichen Anzahl von Schritten eintreten muß, 
daß die Funktion f in allen Teilstücken um weniger als eine 
beliebig klein angenommene positive Zahl schwankt, usw. Der 
so auf einen beliebigen endlichen Bereich E übertragbare 
Satz 18 von Nr. 486 sei hier ausdrücklich formuliert als der 
Satz 4: Verhält sich eine Funktion von x und y in einem 
Bereiche von endlichen Abmessungen stetig, so gibt es, wie Mein 
auch eine positive Zahl x gcwäldt sein mag, stets eine positive 
Zahl 6 derart, daß die Schwankung der Funktion kleiner als x 
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