Fig. 55. 
definiert, aber noch 
nicht für den Be 
reich E 3 , da er der 
Forderung 2) nicht 
entspricht. Ziehen 
wir nun aber eine 
Je mit l verbindende 
und sich selbst nicht 
schneidende stetige Linie V innerhalb E 3 , siehe Fig. 55, so entsteht 
ausE 3 ein nicht mehr ringförmiger Bereicht", dessen stetiger Rand 
sich aus Je, aus der doppeltzählenden Linie 1' und aus l zu 
sammensetzt. In diesem Bereiche E' erfüllt die Funktion f 
die Forderung 2). Wir erhalten daher entsprechend (1): 
f f f{x, y) dx dy =j y*f(x, y) dx dy +JJf{x, y) dxdy. 
Daraus folgt: 
J f 'fi x , y) dx dy =fj fix, y) dxdy y) dxdy. 
e' f: F.y 
Die rechts stehende Differenz der auf E und E x bezüglichen 
Doppelintegrale ist aber vollständig unabhängig von der zuletzt 
gezogenen Linie V, deshalb auch das links stehende, auf E' 
bezügliche Integral, das daher als das Doppelintegral für den 
Bereich E 3 bezeichnet werden darf. 
Auch wenn f nur im Innern von E 2 und auf dem Hände 
von E 2 als stetige Funktion von x und y gegeben wird, während 
es noch dahingestellt bleibt, wie sich f sonst (z. B. im Innern 
von Ef) verhält, ist das auf E' bezügliche Doppelintegral wohl 
definiert, weil sein Rand, der aus Je, l und V besteht, der 
Forderung ® genügt. Man kann dies Integral auf Grund der 
Formel (1) in Summanden zerlegen, die sich auf Teile von E' 
beziehen, und daraus erkennt man ohne weiteres, daß das 
Integral immer denselben Wert hat, wie man auch die Linie V 
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