§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale. 359 
ziehen mag-. Man ist daher berechtigt, es als das auf den 
Bereich E 2 bezügliche Doppelintegral zu bezeichnen. 
Dieser Schluß läßt sich augenscheinlich verallgemeinern, 
indem man statt zweier noch mehr geschlossene Linien zur 
Begrenzung des Bereiches annimmt. Demnach können wir die 
Forderung 2) durch die folgende ersetzen: 
Forderung ($: Die su betrachtende Funktion von zwei 
Veränderlichen x und y soll sich innerhalb eines Bereiches 
der xy- Ebene und auf seinem Bande stetig verhalten. Der 
Band soll aus einer oder mehre 
ren geschlossenen stetigen Linien 
bestehen, die weder sich selbst noch 
einander schneiden. Abgesehen von 
etwa vorhandenen geradlinigen Band 
stücken soll es keine Gerade geben, 
die mit dem Gesamtrande unend 
lich viele Funkte gemein hat. Siehe 
Fig. 56. 
Jetzt können wir die Formel (1), da sie augenscheinlich 
auch dann gilt, wenn man E in mehr als zwei Bereiche zer 
legt, so als Satz ausdrücken: 
Satz 6: Erfüllt die Funktion fix, y) die Forderung (5 und: 
ivird der Bereich in mehrere Teile E 1) E 2 , ... E n zerlegt, so daß 
fix, y) auch in jedem Teilbereiche die Forderung @ erfüllt, so ist: 
fjfdx dy äy + ff fd x dy -f- • • • + fl fdx dy. 
e" *'i:f E n 
Insbesondere erfüllt die Funktion f = 1 stets die For 
derung (5. Das zugehörige Doppelintegral ist der Grenzwert 
der Summe aller Teilrechtecke des Bereiches E, d. h. die 
Fläche E selbst und zwar, wie immer, positiv gemessen. Daher 
kommt: 
(2) 
Wenn dagegen f(x, y) keine Konstante ist, aber die For 
derung © im Bereiche E erfüllt, und wenn K den kleinsten 
und G den größten Wert bedeutet, den f im Bereiche E und 
auf seinem Rande annimmt, liegt jeder Summand f(cc, y)Axzly 
[5?ß