360 Kap. VI. Kubatur, Koinplanafcion und mehrfache Integrale. 
der Doppelsumme, deren Grenzwert das Doppelintegral yon 
f ist, zwischen Kzlxzly und G/Jx/Jy. Da K und G Kon 
stanten sind, ergibt sich sofort nach (2)*der folgende Satz, 
der übrigens schon in Nr. 574 gefunden und benutzt wurde: 
Satz 7: Erfüllt die Funktion f(x, y) die Forderung @ im 
Bereiche E und bedeutet K den kleinsten und G den größten 
Wert, den die Funktion im Bereiche E und auf seinem Bande 
annimmt, so ist 
E 
Stellt M das Maximum des absoluten Betrages von f(x, y) 
im Bereiche und auf seinem Rande dar, so ist M der größere 
der beiden Beträge jK\ und \G\. Daher gilt auch der 
Satz 8: Erfüllt die Funktion f(x, y) die Forderung © im 
Bereiche E und bedeutet M das Maximum des absoluten Betrages 
der Funktion im Bereiche und auf seinem Bande, so ist 
Schließlich betrachten wir mehrere Funktionen f it f t ,. .. 
f n von x und y. Wenn sie der Forderung (5 im Bereiche E 
Genüge leisten, gilt dasselbe von ihrer Summe Das Doppel 
integral von f ist nun der Grenzwert einer Summe 
^ X?(/i + fi H r fJJxzJy, 
E 
wobei in jedem Summanden die Funktionswerte f lf f t , ... f n 
sämtlich für eine Stelle (x, y) des betreffenden Teilrechtecks 
xlxrdy zu nehmen sind. Die Doppelsumme ist daher gleich der 
Summe von n einzelnen Doppelsummen: 
2+ V ^f.Jxzty H y,f n JxJy. 
E 
E 
E 
Daher folgt der 
Satz 9: Erfüllen n Funktionen f\(x, y), f s (x, y),... f n (gt, y) 
die Forderung (5 in einem gemeinsamen Bereiche E, so ist das 
Doppelinicgral ihrer Summe: 
l 
+ /> + ••+ fu) dx d V 
E 
576]