§ 2. Kubatur durch Doppelintegrale 
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gleich der Summe der einzelnen Doppelintegrale: 
E 
E 
E 
577. Auswertung eines Boppelintegrals durch zwei 
aufeinanderfolgende einfache Integrationen. Wenn die 
Funktion f(x, y) die Forderung Gs der letzten Nummer in dem 
Bereiche E mit dem Rande k erfüllt, ist nun noch die Frage 
zu beantworten, wie man das zugehörige Doppelintegral 
fix, y)dx dy 
E 
berechnen kann. 
Der Einfachheit halber nehmen wir zunächst an, daß die 
Parallelen zur y-A.ch.se den Rand k in höchstens zwei Punkten 
treffen. Ist x 0 der kleinste und X der 
größte Wert, den die Abszisse auf 
dem Rande erreicht, siehe Fig. 57, so 
möge die zu einer zwischen x 0 und X 
gelegenen Abszisse x gehörige Parallele 
zur y-Achse den Rand in den Punkten 
mit den Ordinaten 
(1) Vi = y 2 = 9>*0*0 k 
treffen, wobei y. 2 > y x sei. Die erste 
Gleichung (1) stellt dann das untere, 
Fig. 57. 
die zweite das obere Randstück dar. Weil Je stetig ist, sind 
y x und i/ 3 stetige Funktionen von x im Intervalle x 0 < x < X 
In der Summe 
y^ xJ y 
d X dy 
E 
fassen wir nunmehr alle Glieder zusammen, die sich auf Teil 
rechtecke in einer Reihe parallel zur y-Achse beziehen, d. h. 
mit demselben x und dlx, indem wir schreiben: 
Wir dürfen annehmen, daß in jedem Teilrechtecke ¿Jx<dy den: 
Wert von f(x, y) für die Anfangsecke des Rechtecks gebildet 
[576, 577