364 Kap. YL Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
integriert werden soll, kann auch in anderer Weise als durch 
Parallelen zu den Achsen zerlegt werden, z. B. wie es in 
Fig. 60 angedeutet ist, durch zwei Scharen von stetigen Linien. 
In jedem entstehenden Teilgebiete 
werde wieder eine Stelle Q oder (x, y) 
beliebig gewählt und alsdann der zu 
gehörige Wert fq der Funktion f mit 
dem positiv genommenen Flächenin 
halte AE des Teiles multipliziert. Die 
Behauptung ist nun die, daß die Summe 
aller so entstehenden Produkte 
S-yj^E, 
erstreckt über den ganzen Bereich E, ebenfalls den Grenzwert 
Iß 
f\x,y)dx dy 
hat. Der Grenzübergang soll dabei so stattfinden, daß jedes 
Teilgebiet ¿JE nicht nur nach dem Betrage seines Flächen 
raumes, sondern auch nach seiner geometrischen Ausdehnung 
ohne Ende abnimmt. Dies erreichen wir so: Wir wählen 
eine beliebig kleine positive Zahl x, so daß es nach Satz 4, 
Nr. 575, eine positive Zahl 6 derart gibt, daß die Funktion f 
in jedem Bereiche, in dem x und y um weniger als (5 variieren, 
um weniger als x schwankt. Nun 
sei jeder Teilbereich AE so klein 
gewählt, daß er innerhalb eines 
Quadrates mit Seiten von der Länge 6 
parallel den Achsen liegt. Der Grenz 
übergang findet für lim x = 0 statt. 
Wenn wir nach der früheren 
Art den Bereich E durch Parallelen 
zur x- und «/-Ache in lauter gleich 
große Quadrate mit den Seitenlangen 
zerlegen, gehört jedes Teilgebiet ¿IE 
höchstens vier aneinander stoßenden Quadraten <? 2 an, siehe 
Fig. 61, worin die Anfangsecken der Quadrate markiert sind. 
Der im Summanden fq AE auftretende Faktor fq ist der Wert von 
5781 
1 * i 
1 
i /É> 
mk 
m x 
y 
/•Ò 
ä H 
5/ 
W 
Fig. CI.