[583 
§ 3. Anwendungen. 
375 
ist über jeder Stelle (x, y) der xy-Ebene stetig und hat nur 
positive Höhen z. Daher können wir bei ihrer Volumen 
berechnung einen beliebigen Bereich in der xy-Ebene wählen, 
dessen Rand Je der Forderung (S in Nr. 576 genügt. Zunächst 
nehmen wir das Quadrat an, dessen Seitenlänge 2 a ist, dessen 
Mitte im Anfangspunkte 0 liegt und dessen Seiten der x- und 
«/-Achse parallel sind. Das über diesem Quadrate gelegene 
Volumen ist ein Doppelintegral mit festen Grenzen, das nach 
Satz 2, Nr. 572, sofort in ein Produkt von zwei einfachen 
Integralen zerfällt: 
■f Я -{-Я 
4" OL 
I e~ ,jl dy. 
е~ х ~\ I e~ v 'dy i dx = 
e~ x “ dx 
Beide Faktoren bedeuten aber dasselbe. Also ist 
Nun wollen wir als Bereich E einen Kreis um den An 
fangspunkt mit dem Radius JR annehmen. Das Volumen ist 
bei Anwendung von Polarkoordinaten nach (3), Nr. 582: 
2 л R 
w 
Qe~f üq do3=x(l— 
о 0 
Da das Quadrat den Kreis mit dem Radius a einschließt, 
dagegen vom Kreise mit dem Radius a ]/2 umschlossen wird 
und da die Fläche (1) nur positive Höhen z hat, liegt das 
Volumen V zwischen den zu diesen beiden Kreisen gehörigen 
Volumina. Also folgt: 
— а 
Es gilt dies für jeden Wert von a, so daß für lim a — -f oo 
wegen