§ 4. Komplanation. 
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Den Bereich E zerlegen wir wie in Nr. 578 in beliebige 
Teilbereiche /IE. Wir fassen einen von ihnen ins Auge, siehe 
Fig. 68, und errichten längs seines Randes den zur #y-Ebene 
senkrechten Zylinder. Außerdem 
wählen wir irgend einen Punkt Q 
von ¿JE aus, bestimmen den 
zugehörigen Punkt P der Fläche 
(1) und konstruieren die Tan 
gentenebene von P. Der Zylinder 
schneidet aus der Tangenten 
ebene ein ebenes Flächenstück 
¿JE heraus. Verfahren wir so 
mit allen Teilgebieten ¿JE von E 
und bilden wir die Summe aller 
zugehörigen ebenen Flächen 
stücke ¿JF, so behaupten wir, daß diese Summe einen be 
stimmten endlichen Grenzwert hat, wenn alle Teilgebiete ¿JE 
nicht nur ihren Flächeninhalten nach, sondern auch in ihren 
linearen Ausdehnungen nach Null streben, wobei ihre Anzahl 
über jede Zahl wächst. 
In der Tat, nach dem zweiten Beispiele in Nr. 414 ist ¿JE 
gleich ¿JF, multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, den 
die Ebene von ¿1F mit der xy-Ebene bildet. Dieser Kosinus 
hat aber den Wert (3). Folglich ist 
¿JF = ~ =Vi> 2 T ~<f+\JE 
und also 
(4) 2 dF -2-z : =2yr‘ + 'r-rl.'K- 
Nach Satz 10, Nr. 578, strebt die in (4) rechts stehende Summe, 
die über den ganzen Bereich E zu erstrecken ist, beim Grenz- 
übergange nach einem bestimmten endlichen Werte, nämlich 
dem des Doppelintegrals: 
fjKp 2 + 2 2 + idxdy. 
Wir haben also gefunden: 
[584