378 Kap. VI. Kubatur, Komplanation und mehrfache Integrale. 
Satz 12: Eine Fläche sei durch die Gleichung 
8 = fix, V) 
gegeben; ferner sei E ein Bereich der xy-Ebene, in dem die 
Funktion f nebst ihren beiden partiellen Ableitungen erster Ord 
nung p = f x und q — f y die Forderung (§, Nr. 576, befriedigt. 
Teilt man den Bereich E irgendwie in Teilbereiche AE, errichtet 
man auf jedem den zur xy-Ebene senkrechten Zylinder und 
schneidet diesen Zylinder jedesmal mit der Tangentenebene eines 
innerhalb des Zylinders gelegenen Flächenpunktes P, so gehen auf 
diesen Tangentenebenen lauter ebene Flächenstücke AF hervor, 
deren Summe den bestimmten endlichen Grenzwert 
Jj'Vp* + q 2 + 1 dxdy 
E 
hat, falls die Ausdehnungen aller Teilgebiete AE nach Null 
streben und dementsprechend ihre Anzahl über jede Grenze 
wächst. Dabei ist die Quadratwurzel des Integranden positiv 
zu nehmen. 
Nunmehr dürfen wir als Größe des betrachteten Stückes 
der krummen Fläche eben diesen Grenzwert definieren, wobei 
wir noch hervorheben wollen, daß dies eine stets positive 
Größe ist. 
585. Grenzwert des Verhältnisses eines Flächen 
stückes zu seiner Projektion. Indem wir die bisherigen 
Bezeichnungen beibehalten, nehmen wir noch an, daß G der 
größte und K der kleinste Wert sei, den der Richtungskosinus 
Z in dem betrachteten Bereiche annimmt. Da dann 
oder 
ist, folgen nach Satz 7, Nr. 576, für die Fläche 
E 
die Ungleichungen: 
584, 585]