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1. Abth. Arithmetik. Rangoperationen. §. 85. 
der Einheit genau, wenn auch nie erschöpfend, darstellen. In Tau- 
sendbillionentheilen angegeben ist er z. B. 
-^-= 0,428571428571428. 
Wie in dem vorstehenden Beispiele, wird die Periode eines jeden 
Decimalbruchs, der durch Umformung eines gewöhnlichen Bruchs 
entsteht, mindestens eine Ziffer weniger enthalten müssen, als 
der Nenner dieses Bruches Einheiten enthält, da (nach §. 83.) die 
Periode von der Wiederkehr eitles Restes abhängt, und die verschie 
denen Reste ihrer Anzahl nach mindestens um 1 geringer sein 
müssen, als die Menge der Einheiten im Nenner. Bezeichnet man 
allgemein den zur Umformung gegebenen Bruch durch —, 
so ist mithin die Anzahl der periodischen Ziffern im gleichbedeutenden 
Decimalbruche höchstens — n — 1. Aufg. 24—26, §. 86. 
Wegen der Unvollständigkeit in der Darstellung der meisten ge 
wöhnlichen Brüche durch Decimalen ist eine solche Verwandlung 
nicht immer, und im Allgemeinen mehr bei vorgeschriebener Addition 
und Subtraktion, als bei Multiplication und Division anzurathen, 
da ohnehin jene beiden Operationen bei gewöhnlichen Brüchen in der 
Regel viel mühsamer, als die beiden letzten zu vollziehen sind. Um 
sich an einem Beispiele zu überzeugen, wie sehr die Rechnung an 
Leichtigkeit und Genauigkeit bei der vorläufigen Umsetzung in De- 
cimalbrüche verlieren kann, bilde man die Produkte der gleichbedeu 
tenden Brüche: 
-y. ^ = (0,3333 ...) (0,714285..) (0,0857142..) 
Anmerkung. Einen gegebenen periodischen Decimalbruch in einen 
geschlossenen Bruch der gewöhnlichen Form umzusetzen, darf man nur 
beachten, daß 
¿=0,1111.... ¿ = 0,0101... ¿ = 0,001001 ... u.s.w. 
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also 1.55.-^=0,4444 ... -=0,1717 .. . ¿=0,235,235 ...tu s.w. 
wonach man allgemein die Periode des Decimalbruchs als Zähler 
zu setzen und mit einem gleichstelligen Nenner, aus Neunen gebildet, 
zu versehen hat. 
§. 85. Abgekürzte Zifferrechnung. Da sehr häufig der 
Fall eintritt, daß die Zahlen, mit denen man zu rechnen hat, nicht 
als völlig genau, sondern nur als Näherungswerthe angesehen 
werden dürfen (sei es nun, daß sie als unvollständige Zahlfor 
men, z. B. periodische Decimalbrüche, aus der Rechnung selbst her 
vorgegangen, oder als unsichere Angaben bei einer angestellten 
Messung gefunden sein mögen), so würde eine vollständige Berech