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1. Abth. Arithmetik. Rangoperationen. §. 105. 
Drittes Capitel. 
Die quadratischen Gleichungen. 
§. 105. Form und Umbildung quadratischer Glei 
chungen. Die verschiedenen Formen, unter denen eine quadratische 
Gleichung, d. h. (nach §. 58.) eine solche, welche die zweite Potenz 
der unbekannten Zahl enthält, gegeben sein mag, lasten sich immer 
auf eine der beiden folgenden 
I. Ax 3 4-Bx + C = 0 oder II. Ax 2 -f-C = 0. 
zurückfuhren, indem man die allgemeinen Regeln für die Umformung 
von Gleichungen (§. 55.) auf sie in Anwendung bringt, wodurch alle 
Divisoren hinweggeschafft und die Glieder dergestalt vereinigt werden 
können, daß die x 3 ,und eben so die x enthaltenden zusammengezogen, 
und die übrigen von x freien Glieder ebenfalls in einer Summe 
vereinigt werden. Man hat demnach im Allgemeinen unter A, B, C 
unbestimmte und jedes beliebigen Werthes fähige (ganze oder ge 
brochene, positive oder negative) Zahlen sich vorzustellen, die aus der 
Verbindung anderer hervorgegangen sein mögen. So entsteht z. B. 
aus der Gleichung 
3x—2 
-+* 1. 
durch Umformung der Ausdruck 12x—8== 35x4-15x 3 — 10x, oder 
zusammengezogen: 
15x 3 4-13x4-8 — 0. 
Eben so folgt aus 
16 — x 10x4-8 4 
[ ) 3~(x+7) “ 20H ¥ 
durch Umgestaltung die Gleichung 
5 (16—x) (20 - 3x)—3(x4-7).5(10x4-8)-4(20—3x).3(x4-7), 
oder entwickelt und zusammengezogen: 
171x 3 4- 1522x — 2440 — 0. 
Zu einer quadratischen Gleichung der Form II. führt die Um 
gestaltung von 
(3) _L_ + _JL 
v 'x—4 x4-8 ^x-8' 
woraus 7 (x 3 — 64) — 2 (x 3 — 12x 4- 32) 4- 6 (x 3 4- 4x — 32) 
und abgekürzt x 3 4-320 —0 hervorgeht. S. Aufg. 1—4, §. 113. 
Anmerkung. Die letzte der hier betrachteten Formen, welche die Un 
bekannte nur in der zweiten Potenz enthält, nachdem die Gleichung 
geordnet worden, pflegt durch die Benennung einer reinen qua 
dratischen Gleichung von der ersten allgemeinen Form unterschieden 
zu werden. Man darf sie als einen speciellen Fall derselben be-