106 1. Abth. Arithmetik. Rangoperationen. §. 107. 
§. 10J 
Ist die gegebene Gleichung von der reinen quadratischen Form 
Ax 2 -pC=0, woraus durch Division mit A die einfachere x 2 -pQ=0 
folgt, so hat man das dieser Form fehlende Glied Px als durch sei 
nen Coefficienten annullirt anzusehen, also in der allgemeineren 
Form P=0, d. h. a+b—0, also b =—a zu setzen. Zu dem Er 
gebniß, daß beide Wurzeln der reinen quadratischen Gleichung 
x* H- Q, = 0 nur dem Zeichen nach verschieden, dem Inhalt 
nach aber einander gleich sind, führt übrigens auch ihre unmittelbare 
Vergleichung mit der, oben durch Multiplication von x—a=0 und 
x+a=0 gefundenen, Form x a — a 2 =0, indem man Q=a 2 , 
also a=l/Q, d. i. d oder — [/d setzt. 
§. 107. ° Bestimmung der Wurzeln. Die im Vorstehen 
den für die Coefficienten einer quadratischen Gleichung der allgemei 
nen Form x 2 H-PxH-Q=:0 gefundenen Ausdrücke: 
(1) P= —(a + b) (2) Q= + ab. 
geben von einander unabhängige Beziehungen zwischen den bekannten 
Zahlen P, d und den noch unbekannten beiden Wurzeln a, b an, 
wonach diese weiter zu bestimmen sind. Waren nun die Gleichungen 
für P und Q, (wie sie scheinen) wirklich beide vom ersten Grade, so 
würde die Bestimmung der Unbekannten a und b sich in der That 
(nach §. 61.) ausführen lassen. Man findet aber, wenn man aus 
(1) den Werth von a oder von b, d. i. a=—b—P oder b=—a 
—P in (2) substituirt, die Ausdrücke 
Q,— — b 2 —bP oder <1 = — a 2 — aP, 
also wiederum in Bezug auf jede der Unbekannten a, b eine qua 
dratische Gleichung, die mit der zur Auflösung gegebenen'x 2 -P-Px 
-p-Q — 0, identisch ist, sofern man a oder b für x substituirt. Der 
Grund dieses vergeblichen Versuchs der Auflösung liegt darin, daß 
(2) keine Gleichung des ersten, sondern eine solche des zweiten 
Grades ist, da sie das Product der beiden Unbekannten enthält (s. 
§. 110.), mithin die Behandlung einfacher Gleichungen im vorlie 
genden Falle gar nicht anwendbar ist. Dagegen werden sich die 
Werthe von a und b aus den Gleichungen (1) und (2) durch P und 
d ausdrücken lassen, wenn man die (im §. 89. entwickelten) beiden 
Formeln 
(a-pb) 2 —a 2 +2ab-pb 2 und (a—b) 2 = a 2 —2ab-pb 2 
zu Hülfe nimmt. Ihnen zufolge ist nämlich 
1) P 2 =a 2 -p2ab~pb 2 
2) — 4d= —4ab 
also 3) P 2 — 4tt=a 3 — 2ab-pb 2 = (a—b) 2 
oder 4) a—b=l/(P 2 —4d) 
und da a-pb——p 
so folgt I. a=-^P+4V/(P*-4Q). 
II. b=—-‘P — !l/(P 2 —4Q). 
% 
Gleicht 
die W 
§ 
sten A 
der qu 
Form 
chung 
betrach 
von (j 
ten de 
dirt. 
Gleich 
ergiebt 
aus w 
(nach 
Werth 
erhält, 
b.) »di 
chen d 
lich de 
im Al 
von bi 
zeichn, 
quadr, 
ohne l 
So fi 
durch 
nach \