H. 108. 3. Capitel. Quadratische Gleichungen. 
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Nach diesen Formeln findet man z. B. für die quadratische 
Gleichung 
3x2— 24x4-45—0 oder x 2 —8x + 15==0 
die Wurzeln 
I. a —-+-4h-^1/(64 — 60) = 5. 
II. b=H-4 - {\/ (64 — 60) — 3. 
§. 108. Auflöst!ng durch Ergänzung. Auf dem einfach 
sten Wege gelangt man zu den Ausdrücken für die beiden Wurzeln 
der quadratischen Gleichung x 2 4-Px-i-(i=0, indem man ihr die 
Form x’ + Px=—Q, ertheilt und die vordere Seite dieser Glei 
chung als unvollständige Entwickelung des Ausdrucks 
(x-b-jP) 2 — x 2 +Px4-jP 2 
betrachtet. Es ist nämlich jenes Binom zum vollständigen Quadrat 
von (x4-->P) leicht dadurch zu ergänzen, daß man auf beiden Sei 
ten der Gleichung das Quadrat des halben Coefficienten von x ad- 
dirt. Aus der dadurch gewonnenen neuen Form der gegebenen 
Gleichung: 
x 2 4-Px4-U"—i? 2 — ft 
ergiebt sich unmittelbar durch Ausziehung der Quadratwurzel 
x-hp=l/(iP*-Q)/ 
aus welcher man, da die Quadratwurzel einer jeden positiven Zahl 
(nach §. 95.) sowohl negativ, als positiv sein kann, die beiden 
Werthe 
I. x 1= =-iPH-v/UP 2 -<i) 
II. x 2 =—4P-v/UP 2 -Q) 
erhält, welche mit den oben abgeleiteten Werthen der Wurzeln (»und 
d) nach einiger Umgestaltung völlig zusammenfallen. Die dem Zei 
chen der Unbekannten angehängten Ziffern 1 nnd 2 sollen ausdrück 
lich den Umstand hervorheben, daß das x der gegebenen Gleichung 
im Allgemeinen zwei ganz verschiedene Werthe, aber immer nur einen 
von beiden besitze, also entweder x,, oder x 2 sei. Das hier be 
zeichnete Verfahren hat den Vorzug, daß es für die Auflösung der 
quadratischen Gleichung sich immer ursprünglich anwenden läßt, 
ohne daß man eine allgemeine Formel zum Grunde zu legen hätte. 
So findet man z. B. als Wurzeln der Gleichung 
11 11 
—.j X-t-2—0 oder x 2 —3~ x ——2, 
durch Ergänzung zum Quadrat umgeformt in 
, ii /ny- m 
X + -36=- 
nach Ausziehttttg der Quadratwurzel 
, 11 1/ /121 a \ 11 7 
'• *> = T+V (-36— 2 )=T + TT