H. 140. 6. Capitel. Progressionen. 143 
Betrachtet man nun ferner die Glieder irgend einer Progression 
Up Uzp Azp »4p ÜZp .... S^p .... 
als zu einer vollständigeren, d. h. mit geringeren Aenderungen 
fortschreitenden, Reihe gehörig, so entsteht die Aufgabe, die fehlenden 
Glieder einer solchen Progression zwischen den gegebenen einzuschal 
ten oder zu interpoliren. Sollen allgemein (p— 1) Glieder mit 
der Differenz d oder dem Factor -> zwischen je zwei der obigen Reihe 
eingeschaltet werden, wodurch solche um p Stetten aus einander 
rücken, so geschieht dies nach obigen Sätzen über die Bestimmung 
der Differenz oder des Factors aus zwei Gliedern. Man findet 
nämlich 
(I.) wenn die Reihe eine mit der Differenz 6 fortschreitende 
arithmetische Progression ist: 
(II.) wenn sie eine geometrische Progression bezeichnet, deren Fac 
tor f ist: 
SP — l/£~ 
(S. Aufg. 41—44, §. 144.) 
§. 140. * Figurirte Zahlen. Wenn in der allgemeinen Dif- 
ferenzreihe a, a ■+• d, a + 2d u. s. f. » — 1 und ä = 1 gesetzt 
und die allmähligen Summen der daraus folgenden natürlichen Zah 
lenreihe 1, 2, 3, 4 ... . genommen werden, so erhält man eine 
neue Reihe der sogenannten Trigonalzahlen, durch deren allmäh- 
lige Summation wiederum die Reihe der Pyramidalzahlen ent 
steht. Auf diese Weise fortfahrend, kann man höhere Ordnungen 
von Zahlenreihen bilden, die sämmtlich unter dem Namen von figu 
rirte n Zahlen begriffen werden, weil die einzelnen Glieder der ersten 
unter ihnen durch Figuren derselben Art sich versinnlichen lasten. 
Eine Uebersicht der ersten neun Reihen dieser figurirten Zahlen, welche 
bis zum lOten Gliede derselben reicht und die Entstehung der einen 
aus der andern am deutlichsten erkennen läßt, folgt hier: