f. 142. 
lr. Capitel. Progressionen. 
m 
u 0—1 n 
a = a+ », und wenn jener Ausdruck hypothetisch angewandt wird: 
k k k—1 
(n —l)n(u+l).(n-t-2)...(uH-k —2) 
1.2.3 .... k 
. 0 11 n(n+l)(n+2)(u + 3)...(n+k — 2) 
^ J k *f" 1.2.3.4 . . . (k—1) 
n ,c "7 1 . " _ [n(n+l) (n-l-2) . . . (n-f-k — 2)] (n — l+k) 
a -t- a — 7“9“ö r 
k k—i 1.2.3 k 
woraus die Richtigkeit des obigen allgemeinen Ausdrucks folgt, weil 
derselbe nachweislich für die ersten Glieder aller Zahlenreihen gül 
tig ist, und somit successiv für jedes folgende. 
§. 141. * Polygonalzahlen. Wird in der allgemeinen 
Differenzreihe a = 1 und d = l, 2, 3, 4 . . . nach einander ge 
setzt und eine allmählige Summation (wie in §. 140.) vorgenom 
men, so entstehen dadurch die Reihen der sogenannten Polygonal- 
z ah len, die mau nach den verschiedenen Arten der Verstnnlichung 
durch Drei-, Vier-, Fünf-Ecke u. s. w., Trigonal-, Tetragonal- 
Pentagonal - Zahlen u. s. f. genannt hat. Der Ausdruck des 
allgemeinen Gliedes für alle diese Reihen ist (nach §. 135.).- 
s = |n (2a-H(n — l)d) — n.a -+- ° ‘ P - d, 
wenn a, d, n auf die erzeugende Differenzreihe bezogen werden. So 
erhält man als Reihe der 
Trigonalzahlen (wofür a — 1, d = 1, n = 1, 2, 3 . . . 
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, . . . 
Tetragonalzahleu (wofür a — 1, d — 2, n = 1, 2, 3 . ..) 
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,.. . 
Pentagonalzahlen (wofür a— 1, d = 3, n = 1, 2, 3 . ..) 
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, . . . 
Alle diese Reihen stimmen darin überein, daß man durch Abziehen 
der Differenzen ihrer benachbarten Glieder auf die nämliche Zahl 
kommt, welches die Eigenschaft einer Differenzreihe vom zweiten 
Range ist. (S. Anfg. 45, 46, §. 144.) 
§. 142. * Höhere Differenzreihen. Durch die allmählige 
Summirung der arithmetischen Progression in ihrer allgemeinen 
Gestalt: 
a a-l-d a 2 d a + 3 d a ■+■ 4 d . . . 
erhält man eine neue Reihe, deren Glieder, allenfalls auch noch mit 
einem neuen beliebigen Anfangsgliede b verbunden, eine Differenz 
reihe vom zweiten Range erzeugen: 
b, b -J— a, b 2a —J— d, b -j- 3a —3d, b -f- 4a —f- 6d . . . 
welche wiederum snmmirt und in allen Gliedern mit einem neuen 
Tellkampf's Mathematik. 4. Aufl. 10