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1. Abth. Arithmetik. Rarigoperationen. §. 143. 
Sehr einfach ist nach diesem Schema die Ableitung der höheren 
Differenzreihen, wenn für die allgemeinen Zeichen specielle numerische 
Werthe gegeben sind, 
z. B 
i. a 
= 
2, d 
= 3, 
b — 
: 4, C 
— 5 
gesetzt wird; denn hier 
erhält 
man: 
I. Differenz-Reihe 
— 
2 
5 
8 
11 
14 
17 
20 
Summen 
— 
2 
7 
15 
26 
40 
57 
77 
II. Differenz-Reihe: 
— 4 
6 
11 
19 
30 
44 
61 
81 
Summen : 
— 4 
10 
21 
40 
70 
114 
175 
256 
III. Diff.-Reihe — 
5 9 
15 
26 
45 
75 
119 
180 
261 
u. s. w. 
Sollte umgekehrt eine höhere Differenzreihe gegeben, ihr Rang aber 
noch unbekannt sein, so findet man denselben vermöge Subtraction 
aller benachbarten Glieder, wobei man endlich ans gleichen Unter 
schied kommt und aus der Anzahl der abgeleiteten Reihen den Rang 
der gegebenen erkennt. So ist z. B. die Reihe 5, 9, 15, 26, 45 
75 ... . vom dritten Range, weil die Subtraction ihrer benachbar 
ten Glieder zwei andere Differenzreihen, dann aber gleiche Differen 
zen liefert, wie folgt: 
5 9 15 26 45 75 119 180 261 
4 6 11 19 30 44 61 81 
2 5 8 11 14 17 • 20 
3 3 3 3 3 3. 
(S. Alifg. 47—50, §. 144.) 
tz. 143. * Reihensumm irung. Es giebt außer den gewöhn 
lichen (arithmetischen und geometrischen) Progressionen, deren Glieder 
durch Addition einer Differenz oder Mnltiplication eines Factors sich 
aus einander erzeugen, eine Menge anderer, die nach bestimmten 
Gesetzen fortschreiten und bei näherer Prüfung als höhere Diffe- 
renzreihen von bestimmten Range erkannt werden. Für solche wird 
man nach der obige» Ableitungstafel dann auch allgemeine Sum- 
menansdrücke aufstellen können, aus denen durch Substitution 
specieller Zahlenwerthe die Summe der Reihen bis zu einem beliebi 
gen (nten) Gliede ohne Weiteres gefunden wird, wie folgende Auf 
gaben dies näher erläutern mögen: 
1) Die Summe der Zahlenreihe 1, 4, 9, 16, 25 . . . u 2 , aus 
den Quadraten der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 ... n beste 
hend, soll in einer allgemeinen Formel gegeben werden. 
Da die Reihe nach zweimaligem Subtrahiren eine andere aus 
gleichen Differenzen giebt, so ist sie eine Differenzreihe vom zweiten 
Range, worin 5 — 1, b -1- a = 4, also a = 3, und b = 2a + d 
— 9, also d = 2. Durch Substitution dieser Zahlenwerthe wird 
der allgemeine Ausdruck der Summe vom Isten bis zum oten Gliede 
aus der obigen Tafel: