tz. 144. 
6. Capitel. Progressionen. 
149 
s = u + 3 
P (n —1) « n (n-1) (n —2) 
1.2 1.2.3 
v , n (n + 1) (2d+1) 
oder zusammengezogen s — 1|^ . 
2) Man soll den summatorischen Ausdruck für die Reihe der 
Quadrate der ungraden Zahlen I, 3, 5, 7 . . . (2n — 1) angeben. 
Auch diese Reihe ist, da sie nach zweimaligem Subtrahiren die 
gleichen Unterschiede 8 giebt, eine Differenzreihe vom zweiten Range 
und b = 1, a — 8, d = 8; also 
.. n . n — 1 _ 
s — u + 8. —j—2— 8 
oder zusammengezogen 8 = 
n . n — 1 . n — 2 
1.2.3 * 
(2n -+- 1) (2n — 1) 
1.2.3 
3) Es soll die Summe der Reihe b, 2 (b + 1), 3 (b 4- 2) 
ii. s. w. gefunden werden. 
Da man in der Reihe b, 2b 4-2, 3b 4-6, 4b 4-12.. eine 
Differenzreihe vom 2ten Range erkennt, für welche n = b 4- 2 und 
d = 2 ist, so findet man hier 
3 = b . n 4- (b 4- 2) 
u . n — 1 
1.2 
+ 2 
n . n — 1 . 11 — 2 
1.2.3 * 
4) Man verlangt die allgemeine Summe der Zahlenreihe 1, 8, 
27, 64, 125 . . . n 3 , aus den Cuben der natürlichen Zahlen be 
stehend. 
Diese Reihe wird durch dreimaliges Abziehen, wodurch man auf 
die Differenzen 6 kommt, als eine Differenzreihe vom dritten Range 
erkannt, in welcher e = 1, b = 7, a = 12, d = 6 ist. Folglich 
hat man hier 
s = n4-7 . 
u.ii—1 
1.2 
4-12 
11.u — l.n—2 
1.2.3 
+-6 
n.n— l.n—2.u—3 
1.2.3.4 
oder zusammengezogen 8 = j“ ^~^r~ J • 
(S. Aufg. 51-60, §. 144.) 
Anmerkung. Je größer die Reihe der natürlichen Zahlen angenom 
menwird, umso mehr nähert sich die Summe ihrer Quadrate dem Werthe 
, und diejenige ihrer Cuben dem Werthes—V-- 
1.2.3 3 \2/ 4’ 
§. 144. Aufgaben. 
1. Die Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis 12060 zu finden. 
2. Eben so aller ungraden Zahlen von 1 bis 15700; allgemein von 
1 bis (2n — 1). 
3. In einer Differenzreihe ist a, = 13, a u = 560, n = 74. Wel 
ches ist ihre Differenz? 
4. Die Summe einer Differenzreihe ist =936, ä=6 und n=12. 
Ihr Anfangsglied zu bestimmen.