1. Cap. Combinationslehre. 
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metik. §. 157. 
uite ohne Aus« 
123 
d 
a 
a 
b 
c 
d 
1) 
:ti 
K. 158- 
den ist, um die Variationsformen derselben zu bilden v —u (o-1) 
(n—2)... (u — (k —1)) oder — n(n —l)(o—2) . . . so—k + 1). 
Sollen die Elemente hingegen unbedingt wiederholt werden, 
i 
so ist zwar auch v —n; aber, weil jeder Form alle Elemente an- 
2 3 
gehängt werden dürfen, v — n . u = n ? , v = n 3 . n = n 3 ; allge- 
k 
mein v — n k . 
e u. Aus dem 
erkennt man sehr 
, für zwei (a, b) 
vier (a, b, c, d) 
1. 2. 3. 4 .... n 
ommen, so wird 
ii. Denkt man 
Elemente in ver- 
i Beziehung auf 
Zeziehung auf ein 
neu. Betrachtet 
inschluß der gleis 
t 1.2.3.4 . . . d 
lb 1. 2. 3 ... r 
he zu groß, folg- 
l 
r* 
Aus dem all« 
e zur andern er- 
nd, als Anzahl 
die zweite, weil 
) Elemente, die 
r = n (n — 1); 
jeder einzelnen 
- 1) (n-2), 
(k — 1) teil mit 
nach zu verbin- 
H. 158. Anzahl der Combinationsformen. Da aus u Ele- 
k 
menten sich allgemein v — n (n — 1) (u — 2) . . (n — k + 1) Va 
riationsformen der k ten Classe bilden lassen und eben diese Formen 
durch die 1 . 2.3.4 . ... kmalige Permutation der Combinations 
formen zu k aus n Elementen entstanden sein würden, so findet man 
als Anzahl dieser letzter»: 
k 
k v n (u — 1) (n — 2).. .(u — k + 1) 
C — k 12 3 k * 
I» 
Ist aber unbedingte Wiederholbarkeit der Elemente für die Combina- 
jjk 
tionen gestattet, so erhält man nicht, wie es scheint, ^^ 
n (n +1) (n + 2) . . . (n + k — 1) , 
sondern j—2—3 ^ verschiedene Combina- 
tionsformen. Denn um aus den n Elementen a, b, c, d . . . . 
successtv sämmtliche Combinationsformen (nach §. 154, 4.) z» bil 
den, darf man zunächst nur jedes Element einem gleichen oder frü 
hern, also a einmal, b zweimal n. s. f. einem andern anhängen. 
Dadurch entstehen nun der Reihe nach 1, 2, 3 ... n Combinationö- 
formen zu 2 Elementen, nnter denen man wiederum der ersten Form 
a, den (1 + 2) ersten b, den (1 + 2 + 3) ersten c u. f. f. an 
hängen darf, um die Combinationsformen zu 3 Elementen zu bilden. 
Man erhält für diese Classe mithin der Reihe nach 1, 3, 6, 10 ... . 
Formen, aus denen durch Anhängen der einzelnen Elemente auf 
gleiche Weise 1, 4, 10, 20 . . . Formen zu 4 Elementen sich erge 
ben, von denen man jti denen der 5ten Classe u. s. m. fortschreiten 
kann. Jene Zahlen aber, welche die Menge der all mäh lig ge 
bildeten Combinationsformen angeben, sind keine andern, als 
die sogenannten fignrirten Zahlen, wie eine Vergleichung mit 
deren (im §. 140. mitgetheilten) Tafel zeigt. Es wird also durch de 
ren allgemeinen Ausdruck 
n (n -{— 1) (u +- 2) (n —|— 3) . . . (n -t~ k 1) 
1.2.3.4 k 
zugleich die Anzahl aller Combinationsformen angegeben, welche man 
Tklltcnnpf's Mathematik, 4. Aufl. 11