162 1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithmetik. H. 1LS.
durch die Zusammenstellung von k aus n wiederholbaren Elementen
allmählig zu bilden vermag.
Anmerkung. Sollen n Elemente auf jede mögliche Weise in zwei
Abtheilungen A, B zerlegt werden, deren eine k und die andere
n — K---r Elemente enthalte, so ist die Anzahl solcher Zerlegungen
für A und B:
i n (n — J)...(n — k-+-l) , D , r . w n (n — l)..(n — r-4-1)
(A) C n — . 0 r > (BjCn — 1 O i r '
und da jede dieser Abtheilungen durch Bildung der andern von
selbst entsteht, der Werth für (A) und (B) der nämliche. Eben so
findet man, wenn n Elemente in drei Abtheilungen A, B, C zerlegt
werden sollen, von denen die erste k, die zweite r, und die dritte s
Elemente enthalten möge, als Anzahl aller möglichen Complexionen,
indem jede einzelne von A mir jeder einzelnen von B sich ver
binden läßt, die gleichbedeutenden Ausdrücke
Kr Ir » r Ir
Cn X Cn—k = C„ XC n ~ k = C n X C„_, t|. s. w-
(S. Aufg. 21 - 26, §. 163.)
H. 159. Bedingte Combination. Es können Fälle ein
treten, in denen nicht alle Combinationsformen, sondern nur solche,
die einer gewissen Bedingung genügen, gültig bleiben. Solcher Be
dingungen lasten sich zwar mancherlei denken, z. B. daß die Elemente
in den Formen mit gleicher Differenz oder nach demselben Ver
hältniß fortschreiten, wie in 1357, 2468 oder 124, 248; die brauch
barste Bedingung ist aber die, daß die Elemente, als Zahlen betrach
tet, in allen Formen dieselbe Summe geben. — Um nun nach
einer bestimmten Regel CombinationSformen zu gegebenen Sum
men zu bilden, darf mau nur alle Stellen bis zur vorletzte« mit
den niedigsten, die letzte aber mit dem Ergänzungs-Elemente ausfül
len und beim Fortschreiten die früheren Stellen allmählig nm eben
so viel erhöhen, als man die letzten erniedrigt, ohne indessen je ein
niedrigeres auf ein höheres Element folgen zu lasten. Beispiele solcher
k
Combinationen, wofür die allgemeine Andeutung '6 (1 .. n) gilt,
sind folgende:
1) ,0 C (1 ... 7) = 127, 136, 145, 235.
2) 14 C (1 ... 8) = 1238, 1247, 1256, 1346, 2345.
3) S C (0 .. . 5)" — 0005, 0014, 0023, 0113, 0122, 1112.
4) *°C (3 . . .)" — 33338, 33347, 33356, 33446, 33455,
34445, 44444.
Man erkennt leicht, daß in zwei Fällen diese Art von Combination
unmöglich wird; nämlich 1) wenn die höchste Form die Summe
noch nicht erreicht, oder 2) wenn die niedrigste Form dieselbe
