§. 106. 
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2. Capitel. Reihen-Entwicklung. 
x a (ii •+• bz -f- c ** -+- d x 5 -4- Je.) 
ertheilen, worin die Exponenten in der Folge der natürlichen Zah 
len, übereinstimmend mit der Stelle der Glieder fortschreiten. 
§. 165. Bildung der Reihen. Reihen der vorstehenden 
Form können entweder nach irgend einem willkürlichen Gesetze, wie 
z. B. die Verhältnißreihen durch fortgesetzte Multiplikation mit dem 
nämlichen Factor, oder durch wirklich vollzogene Ausführung einer 
angedeuteten Operation gebildet werden. So erhält man durch aus 
geführte Multiplication oder Division: 
fl) (1 + x) 4 rr 1 + 4x + 6x J + 4x' -f- x 4 . 
(2) i ^ - = a + ax + ax* ax* ax 4 .... 
also im ersten Falle eine endliche oder geschloffene, im zweiten hinge 
gen eine unbegränzt fortschreitende Reihe, beide nach den steigenden 
Potenzen der Grundzahl x geordnet. Augenscheinlich ist für die 
zweite Reihe keine andere Anordnung zulässig, während die Glieder 
der ersten auch in umgekehrter Folge gesetzt werden dürfen. Bezeich 
net man nun allgemein durch F (x), </) (x) ii. s. w. eine nur an 
gedeutete Function von x, d. h. einen Zahlenausdruck, in welchem 
irgend eine mit x vorzunehmende Operation durch Zeichen vorge 
schrieben wird, so kann mit Rücksicht auf die obigen und ähnliche 
Entwickelungen solcher ZahlcnauSdrücke untersucht werden, in wel 
chen Reihen sich die gegebene Function etwa werde entwickeln lassen. 
(S. Aufg. 1—4, §. 184.) 
§. 166. Coefficienten der Reihen. Insofern als Ent 
wickelung irgend einer angedeuteten Function F (x) die Reihe 
(I) A -1- Bx + Cx* Hb Dx* . . . . + Lx“ .. .. 
und eben so als die einer andern Function cp (x) die Reihe 
(II) a ßx -+- yx 2 dx* . . . . + Ax“ .... 
angenommen wird, welche mit jener in Absicht des Fortschritts der 
Grundzahl x völlig übereinstimmt, kann eine Abweichung beider Rei 
hen nur in der Verschiedenheit ihrer Coefficienten liegen. 
Sind daher die Functionen F (x) und y> (x) verschieden, wie z. 
B. (1 x)* und (1+x) (1 +2x) (l 3x), (o müssen es eben 
falls die Coefficienten (wenigstens einzelner) gleichstelliger Glieder ih 
rer Entwickelung fein. Werden dagegen die Functionen F (x) und 
SP (x), wenn auch ihrem Ausdrucke nach von verschiedener Form, wie 
z. B. \/(l -+- x) und (1 -I- x)*, doch ihrem Begriffe nach als iden 
tisch angenommen, so müffen auch ihre Entwickelungen (I) und (II) 
die nämlichen, d. h. sämmtliche Coefficienten gleich hoher Glieder 
identisch sein, auf welchem Wege man immerhin zu denselben gelan 
gen möge. Durch Subtraction beider Reihen erhält man nämlich: 
(III) F(x)-y (x)=(A-«) -4-(B—ß)x+ (6-?)x*-»-(0—ck)x*...