172 1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithmetik. §. 167. 
welche Gleichung der Voraussetzung gemäß für jeden beliebigen 
Werth von x ja Null werden muß. Setzt man nun zunächst 
x — 0, so ergiebt sich A - « = 0, und indem man dann einen 
beliebig kleinen Werth k für x substituirt, diesen aber durch Division 
wiederholt ausscheidet: 
— (K—ß) 4- (C — y) k -f- (D — <5)k 2 + etc., also ll—ß=o, 
in sofern nämlich sämmtliche den Factor k enthaltende Glieder als 
verschwindend angesehen werden können, wenn man den Werth 
von k in's Unendliche abnehmen läßt. Eben so ergiebt sich 
— (C — y)4-(D — J) k 4-(K — i) k 2 4- etc., also C—^ — o, u. s. f. 
Folglich ist allgemein A = «, li — ß, C = y, D = 6 u. s. f. oder 
mit andern Worten: cs läßt sich die nämliche Function nicht in zwei, 
nach den ganzen Potenzen derselben Grundzahl gleichmäßig fort 
schreitenden Reihen mit verschiedenen Coessicienten darstellen. 
Das Nämliche gilt von Reihe»! der Form: 
(IV) F(x, y) = A4-Lix4-Cy4-Dxy4-Ex 2 . . . . 
(V) (fi (x, y) = m 4~ ßx 4~ Yy 4~ öxy + a J 4- . . . • 
welche in Beziehung auf zwei Grundzahlen von unbestimmtem, 
beliebigem Werthe fortschreite», wofür der Beweis in gleicher Weise 
zu führen ist, indem man abwechselnd x und y anfangs annullirt 
und dann — k seht. 
§.167. Tota lwe rthe der Reihen. Durch Substitution eines 
bestimmten Werthes für die Grundzahl x erhält jede Reihe 
der Form: 
A 4- Bx 4- Cx 3 4- D 2 . . . . 4- Lx k 4- Mx k+1 .... 
worin die Coessicienten als von x unabhängige, gegebene Zahlen zu 
betrachten sind, einen ebenfalls bestimmten Werth, sofern sie eine 
begränzte Menge von Gliedern enthält, während ihr Werth im 
Allgemeinen unbestimmt bleibt, wenn die Anzahl ihrer Glieder 
unbegränzt ist. So wird z. B, wenn man in den Reihen 
(1) l+2x + 3x 2 + 4x 3 4- 5x 4 
(2) 1 4- ix 4- [x 2 4- ix 3 4- |x 4 .... 4—^- x k -» . . . 
für x die Zahl 2 substituirt, der Totalwerth von (l) — 129, wäh 
rend derjenige von (2) gar nicht zu bestimme« ist, sofern nicht etwa 
von k ein bestimmter Werth angenommen und die unbegränzte Reihe 
dadurch zu einer bcgränztcn gemacht wird. Dennoch ist man im 
Stande, auch für eine solche unbegränzte Reihe dann einen Total 
werth anzugeben, wenn dieselbe als Entwickelung einer bekannten, 
geschlossenen Zahlsorm zu betrachte» ist, aus welcher jener Werth un 
mittelbar durch Substitution sich ergiebt. So findet man z. B. als