§. 168. 
2. Capitel. Reihen-Entwickelung. 
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Entwickelung der Lmotientenform 
vollzogene Division: 
und 
1 + x 
durch wirklich 
0) 
(2) 
= a + ax + ax s + ax 3 . . . . + ax k 
ax -f- ax 2 — ax 3 
(— l) k ax k .... 
1 -+- x 
also für den besonderen Werth x — den Totalwerth der Reihe 
(1) —3a, der Reihe (2) — 
Sollte der Werth von x 1 sein, so würden die Glieder der Reihe 
(2) unaufhörlich zunehmen. In diesem Falle gebe man dem Ausdrucke 
folgende Entwickelungsform: 
„ a a a a a . ,,, . 
(3) r+i — T• 
k k 
Eben so findet man für x > 1 die Reihe: 
m 
X — 1 X X 2 X 3 X 4 ’ ‘ ' x k * ’ ’ 
Betrachtet man die Grundzahl x einer Reihe als veränderlich, 
so muß der Totalwerth X derselben sich zugleich mit dem Werthe 
von x ändern. Angenommen, die Reihe sei begränzt und — A, 
wenn x = a gesetzt wird, so geht ihr Totalwerth in andere (positive 
oder auch negative) Zahlen über, wenn man x vermehrt oder 
vermindert, also x = a±z setzt-. So werden z. B- die Total 
werthe der Reihe x 4 — 4x 2 + 2x 2 — 4x-4-8 für x — 3 und 
x — 4 zu X ä = — 13 und X 4 =+24; für x = 1 und x—2 
zu X. = + 3 und X, = — 8. (S. Anfg. 5 — 7, H. 184). 
§. 168. Convergenz und Divergenz der Reihen. Wenn 
eine nnbegränzt fortschreitende Reihe mit irgend eitlem (kten) Gliede 
abgebrochen wird und der Rest (R) derselben dem Werthe 0, folglich 
die Summe ihrer k ersten Glieder (Sk) einem bestimmten Gränz- 
werthe sich um so mehr nähert, je größer man die Anzahl k der 
Glieder annimmt, so wird die Reihe eine convergirende oder con- 
vergent genannt. Divergent heißt im Gegensatz eine solche, deren 
Rest, sofern sie mit beliebigen k Gliedern abgebrochen wird, sich nicht 
der Gränze 0 nähert. So ist z. B. die ans den positiven, ganzen 
Potenzen einer nnbestimmten Grundzahl x gebildete Reihe x" -+- x* 
•+* x 2 + x* H- jc. konvergent, wenn man einen ächten, hingegen 
divergent, wenn man einen „nächten Bruch für x snbstitirt. Denn 
da man durch wirklich vollzogene Division: 
1 __ X = 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 . . . . + x k + i j—^ I 
piifcet, wo der Rest R in geschlossener Form erscheint, so läßt sich der 
Werth desselben für besondere Voraussetzungen leicht beurtheilen.