174 1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithmetik. §. 168. 
Die (k -+- l)tc Potenz von x nähert sich aber augenscheinlich dem 
Werthe v, wenn x<l, entfernt sich hingegen immer mehr von 
demselben, wenn x ;> 1 und k in's Unbegränzte wachsend angenom 
men wird, da jeder ächt-gebrochene Factor verkleinert, jeder unächt- 
gebrochene dagegen vergrößert. Diese Eigenschaft der einfachen obi 
gen Reihe, worin man die abnehmende geometrische Progression 
(§. 137.) erkennt, konvergent oder divergent zu werden, je nachdem 
man einen, ächt- oder unächt-gebrochenen Werth für x setzt, begrün 
det folgende allgemeine Lehrsätze: 
1) Sei a 0 + a, -+- a 2 H- a 3 . . . . + ait + ak+i . ... die 
abkürzende Andentung einer nach den ganzen, positiven Potenzen von 
x gesetzmäßig fortschreitenden Reihe A -f- Hx Cx* .... -t- Lxt 
»+- Mxk+j . ... so ist diese Reihe konvergent, wenn der Quotient 
»k-t-l 
Uk 
für stets zunehmende Werthe von k sich einem ächten Brnche 
ß, als Gränze nähert. 
Da nämlich der Voraussetzung zufolge: 
(A) 
»k+l 
«k 
<ßi 
»k+2 
»k+1 
<ßi 
#k+n 
3k+n—l 
<ßi 
so findet man durch fortgesetzte Multiplication 
(») 
3k+l 
3k 
<ß\ 
3k+2 
3k 
</? 2 : 
3k^z 
3k 
<ß'i~ 
3k-f-n 
Uk 
<ß U ‘, 
also at+n <! ak . ß a . Da nun /?<[1, also ß° und somit auch 
ak+ü dem Werthe 0 bei wachsenden n immer näher kommen müssen, 
so folgt, daß der Werth des Gliedes Uk der obigen allgemeinen Reihe 
sich der Gränze 0 um so mehr nähert, je großer k ist. Nun findet 
man aber aus (8): 
(6) a k+ i < a k . ß-, a k+2 < a k . a k +n < «k • ß a • . 
also (ak H-ak+i~1 - ak+2 ak+ n ) ak (1 -jrß’+-ß i . . -t-ß n > •) 
b. i. I. R < jztp 
Demnach ist, da der Werth ak bei zunehmendem k der Gränze 
0 sich unaufhörlich nähert, dies ebenfalls mit dem Reste R der Reihe 
der Fall und dieselbe daher konvergent. Sollte die Reibe über 
haupt oder von dem vten Gliede an mit abwechselnden Zeichen 
ihrer Glieder fortschreiten, so ist in den vorstehenden Ansdrücken statt 
-1- ß überall — ß zu setzen; 
also (ak — ak+i + ak + 2 . • . •) a k (1 — ß -f- ß 2 — ß* . . .) 
taii.Rc^i 
woraus die Convergen; der Reihe auf gleiche Weise folgt. 
Zusatz 1. Ist eine Reihe a 0 -f- a, a 2 a, ....+ ak .... 
konvergent, so sind es auch die beiden, aus ihren abwechselnden 
Gliedern gebildeten Reihen: