§ 169. 
2. Capitel. Reihen-Entwickelung. 
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gg -1- 3, + 34 *+- 3ik NNd 3, -+- 3, 3 S . . . . 3äk+l .... 
da der Voraussetzung gemäß der Rest der ganzen Reihe dem 
Werthe 0 sich bei wachsendem k unbegränzt nähert, welches unmög 
lich wäre, wenn nicht dasselbe von den Resten der partiellen Rei 
hen gälte. 
Zusatz ll. Eine abnehmende und unendliche Reihe mit ab 
wechselnden Zeichen ist jedesmal convergent, wenn die Glieder sich 
fortwährend der Gränze ü nähern. 
Denn daß der Totalwerth 8 der Reihe 
3„ — 3, 3 3 — 3, -J- 3 4 — 3 6 + .... 3u—2 — 3n—1 ■+* 3„ 
zwischen 3 0 — a, und a 0 enthalten sein müsse, folgt auö den beiden 
Formen 
(1) 8 — a 0 — (a, — a a ) — (a, — a 4 ) — .. .. 
(2) 8 = (a„ — a,) •+- (a, — a 3 ) -+- (a 4 — a s ) 
wonach S<a c und >> (a 0 — a,) ist. Daher muß aber auch der 
auf 8k folgende Rest R < ak sein. 
2) Die Reihe a 0 4- a, ■+- a 2 + a 3 . . . . 4- a 2 k+i . ... ist 
divergent, wenn der Quotient für stets zunehmende Werthe 
von k sich einem unächten Bruche ß nähert. 
Denn indem man unter der Voraussetzung, daß ß^>l sei, 
wiederum die vorstehenden Ausdrücke (A) (B) (C) aufstellt, wird 
man zu der divergirenden Summenform 
(1 4~ ß + ß 2 4- ß* ... -+- ß k ...) 
geleitet, wonach der Rest R sich nicht der Gränze 0 nähert. 
Anmerkung. Nähert sich der Werth des obigen Quotienten für ein 
unbegränztes k der Einheit als Gränze, so bleibt es im Allgemei 
nen unentschieden, ob die Reihe convergirt oder divergirt. 
(S. Aufg. 8 — 10, §. 184.) 
II. Binomialreihe. 
§. 169. Binomial-Product. Die wichtigste aller Reihen- 
Entwickelungen ist die der Potenz eines Binoms (a 4- x) nach 
den steigenden Potenzen eines der beiden Theile a, x angeordnet. 
Da aber die Zahlform (a ■+■ x) n als specieller Fall des allgemeinen 
Ausdrucks der Multiplication von Binomialfactoren: 
(a -I- x) fl) 4- x) (c 4- x) (d + x) . , . (m 4- x) 
in betrachten ist, so beruhet jene Reihen-Entwickelung auf der Bil 
dung des hier allgemein angedeuteten Products. Nun läßt sich die 
vorgeschriebene Multiplication entweder allmählig nach den allge 
meinen Regeln (§. 46. und 47.) ausführen, oder das Product mit 
Hülfe kombinatorischer Lehren unmittelbar aus den gegebenen Fac- 
toren bestimmen. Da nämlich jedes Glied des allmählig entwickel