2 Capitel. Reihen-Entwickelung. 
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§. 170. 
Glieder b, c, <1 . . . m sämmtlich = a zu setzen und folglich die 
combinatorischen Andeutungen auf das «mal wiederholbare Element 
a zu beziehen haben. Demnach werden hier alle Combinationsformen 
Potenzen von a, die mit den zu n ergänzenden Potenzen von x 
zusammentreten, und eS braucht jedem einzelnen der Glieder au, x o f 
a“— 1 . x 1 , a 11 — 2 . x s u. s. w. nur noch der Zahlencoefficient hin 
zugefügt zu werden, welcher angiebt, wie vielmal cs sich aus den 
n zweitheiligen Faktoren hervorheben läßt. Dies ist aber allgemein 
für das kte Glied a“— k . x k (nach §. 158.) auf 
n (n — 1) .... (n — k+l) 
1 
Reihe: 
2 . 3 
verschiedene Arten möglich, so daß die 
, n n (n — 1) 
(a-4-x) n — a u H—- a“ -1 x H —a“— 2 x a 
n (n—1) . . . (n — k + l) 
1 . 2 
a n k x k 
-h 
.-t-x° 
1.2 ....... k 
als Entwickelung der Potenz eines Binoms oder Binomialreihe 
hervorgeht, sofern n eine beliebige ganze und positive Zahl ist. DaS 
unter dem Namen des binomischen oder Newton'schen Lehr 
satzes bekannte Gesetz dieser Entwickelung liegt in der gleichmäßigen 
Abnahme der Potenzen von a und Zunahme derjenigen von x, 
so daß ihre Exponentensumme in jedem Gliede — n bleibt, und in 
der allmähligen Bildung der Coefficienten ihrer Produkte durch Er 
weiterung des Zählers und Nenners um einen Factor, der um 1 ab 
nimmt oder steigt, so daß es leicht ist, jedes folgende Glied auS 
dem vorhergehenden vollständig zu bilden. 
Eine noch einfachere Gestalt erhält der binomische Lehrsatz, wenn 
man (a-z-x)u — a u ^1+-^ oder a» (1-f-z)» setzt, so daß der 
erste Theil des Binoms — 1 wird; denn in diesem Falle wird seine 
Entwickelung: 
, u n (n — 1) 
(l+z)“ = l-h— z-f 1 
n(ü-l) 
1.2 “ + 
. (n-k + 1) 
n (n — 1) (n — 2) 
1.2.3 
z u 
' 1.2 k * ‘ 
Die Coefficienten dieser Reihe pflegt man ihres häufigen Vor- 
12 k 
kommens wegen durch die Bezeichnung n B, n B ... U B oder noch kür 
zer durch n,, Uz, vz ... nk anzudeuten, worin n sich auf die Potenz, 
k auf die Stelle bezieht, so daß kürzer 
n (n — 1) (n—2) . . . (n — k+1) k 
1.2.3 . . . . k “ llB ° ter ~ Dk 
gesetzt wird. (S. Aufg. 13, 14, 17-25, §. 184.) 
Zusatz. Wäre ein Polynom (1-4-ax-k-bx-^-ax^-t-rc.) zur 
Tellkqmpf'ö Mtithnnqtik. 4. Aufl. 12