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1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithm. §. 171. 
Potenz des ganzen und positiven Exponenten v zu erheben, so dürfte 
man, um den obigen Ausdruck für (l-l-z) u darauf anzuwenden, 
nur z als Andeutung der Reihe ax-l-bx*+cx* ... . betrachten 
und die Entwickelung höherer Potenzen von z dadurch vornehmen, 
daß man zunächst das Binom (ax-f-w) für z substituirte, wo w 
als abkürzende Andeutung von bx* +cx s -+• k. gilt. Auf diese 
Weise findet man, in 
(l-t-z)" = 1 —I— nn z4-n 2 z*-f-u 3 z,+n 4 z 4 
für z seinen obigen Werth setzend und auf der rechten Seite die 
ersten Glieder der höheren Potenzen entwickelnd: 
(l-f-ax-b-bx^H-cx*....)" — l---v,ax-z-bx, bx^-i-n, cx*-f-JC. 
4-o 2 a 2 x 2 4-2u 2 abx'4-rc 
H. 171. Binomialcoefficienten. In Absicht der oben als 
Coefficienten der binomischen Entwickelung gefundenen Zahlen hat 
man sich folgende Eigenschaften derselben zu merken: 
I. Diejenigen Glieder der Binominalreihe, welche gleichweit 
vom Anfang und Ende derselben abstehen, habe» gleiche Binomial 
coefficienten. 
Denn vergleicht man in den Entwickelungen 
(a+x) n —a u +n,a n —ix+n 2 a u — 2 x 2 .... + n„_iax“— , +x n 
(x+a) u — x« -+-nj x“— 1 a+n 2 x n — 2 a a ....-f-Du—ixa“— 1 H-a° 
die identischen Glieder, so ergiebt sich 
n , — n„—i; n 2 =D u _ 2 ; allgemein nk=n u —k. 
Es reicht also hin, diese Zahlen bis zur Mitte der Reihe bestimmt zu 
haben, weil sie von da in umgekehrter Ordnung wiederkehren. 
2. Man kann von den Binomialcoefficienten einer Potenz n 
zu denen der nächst höheren o + 1 übergehen, indem man je zwei 
benachbarte addlrt. Denn es ist mit Hinzufügung des FactorS 
v (n—1) (n — 2) . . (u—k+1) k + 1 
1.27377k * k+l' 
_ u (o — 1) (n—2) . . . (a — k-4-1) (n — k) 
FT 2.3 . . . k . k-hl “ 
Íd(d —1) ... (n — k —1) 
* k + 1' 
u (o — 1) (n—2) 
n k-4-n 
1.2.3 
_/n(n — 1 
ökH-l 1 j 
folglich vk 4- Dk-t-i — 
oder nach der vereinfachenden Bezeichnung — (n 4- l)k+i, wonach 
jeder Binominalcoefficient, eben so wie (nach H. 140) jede figu» 
rirte Zahl, durch Addition zweier anderer entsteht. Man kann 
demnach leicht eine Tafel dieser Zahlenwerthe entwerfen, die so an 
fangen wird: