f 172. 
2. Capitel. Reihen-Entwickelung. 
179 
12° 
Potenz 
Binomialcoefficientcn. 
u 
n» 
n, 
v, 
»4 
! 
°6 
n 7 
u 8 
1 
1 
1 
2 
1 
2 
1 
3 
1 
3 
3 
1 
4 
1 
4 
6 
4 
1 
5 
1 
5 
10 
10 
5 
1 
6 
1 
0 
15 
20 
15 
6 
1 
7 
1 
7 
21 
35 
35 
21 
7 
1 
8 
1 
8 
28 
56 
70 
56 
28 
8 
1 
3) Die Summe jeder geschlossenen Reihe von Binomialcoeffi- 
rienten irgend einer vten Potenz ist stets eine Potenz von 2. 
Denn substitliirt man 1 für a und x, so wird die obige Ent 
wickelung von (a-^-x)u: 
(1 *+* l) n == 1 ■+• Dj + U 2 *+- n s . . . •+• Dk . . . + Dn—1 + 1. 
§. 172. Binominalreihe für gebrochene positive Ex 
ponenten. Ein Beispiel, daß das oben für ganze positive Ex 
ponenten gefundene Gesetz der Entwickelung ebenfalls für gebro 
chene Exponenten eines Binoms hervortritt, giebt der Ausdruck 
(1 + x) 2 = l/(l +x), für welchen man durch Ausziehung der 
Quadratwurzel findet: 
(1 + xf = l + ±x 
6. i. = 1+1x4- 
(1-1) 
1.2 
|x s -1- tVx 8 — 2C. 
, * (i - 1) Ö - 2) 
H rxi 
IC. 
Um nun zu prüfen, ob jenes Gesetz in der That für gebrochene 
Exponenten unbedingt gültig bleibe, hat man die muthmaßliche 
Gleichung 
0 “1“ x) „ — 1 -{- 
_ IN 
x + ä~ 
mir auf beiden Seiten zur nten Potenz zu erheben und zu unter 
suchen, ob sie zu einer identischen werde. Nun erhält man aber, 
wenn man