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1. Abth. Arithnl. Anfangsgr. d. h. Arithm. H. 173. 
oder kürzer: (1 -+- x)'" = (1 -+- z) u nach §. 170. Zus. entwickelt: 
(1) (1 -+- x) ul = 1 + in , x H- nijX® + m 3 X s + m 4 x 4 
(2) (t + z) n == H-n a 
und wenn beide Entwickelungen identisch sein sollen: 
die Identität dieser Ausdrücke ergiebt sich aber sofort, wenn man für 
die abkürzenden Andeutungen ihre Werthe snbstituirt. 
§. 173. Binominalreihe für negative Exponenten. Da 
man als Entwickelung der Potenzen 
(l-*-x)-i— iH und(l-t-x)-2 =(! +X ) * — 1+ 2x+X 2 
nach den Regeln der Division die Reihen 
(1 -j-x)^l — 1 — x -H X* — X* -f- x 4 + x E je. 
(l + x) — 2 — 1 — 2x + 3x 2 — 4x 3 H- 5x 4 — 6x* -f- :c. 
erhält, deren Coefficienten durchaus dem oben (H. 170.) gefundenen 
Bildungsgesetze entsprechen, so scheint dasselbe sich ebenfalls auf ne 
gative Exponenten zu erstrecken. Hiervon sich näher zu überzeugen, 
multiplicire man die muthmaßliche Gleichung 
(I) (1-1-x)-" — 1 -t- ( —n),x-1-(—n) 2 x 2 -H (—u) 3 x 3 -1-k. 
mit der nach dem Vorhergehenden unzweifelhaften 
(2) (1 + x)" = l + n 1 x + n J x*+n 1 x J + JC. 
so wird man mit leichter Mühe in dem Resultat: 
(1 -f- x)° = 1 (-u),x + ( — n) 2 x 2 + (—n) 3 x 3 + rc. 
+ n j x + n, (—n) j x 2 H-n, (—n),x ä rc. 
+ n s x 2 -+- n 2 ( — n) , x 3 -f- jc. 
-+-n 3 x 3 -+- rc. 
eine idttttische Gleichung erkennen, indem sämmtliche Coefficienten 
gleich hoher Potenzen von x zusammengenommen zu Null werden, 
wie man bei Substitution ihrer Werthe findet. 
Anmerkung. Die hier gegebenen Beweise für die Ausdehnung der 
binomischen Entwickelung auf gebrochene und negative Exponenten 
sind allerdings unvollständig, indem sie die unbedingte Gültig 
keit derselben nur für die ersten Glieder nachweisen. Ein voll-