f 175.
2. Capitel. Reihen-Entwickelung.
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ständiger Beweis würde sich aber seiner Weitläufigkeit wegen nicht
für die diese Anfangsgründe eignen.
H. 174. Unbegränzte Binomialreihen. Obgleich nach dem
Vorstehenden das Gesetz für die Bildung der Binoniialcoefstcienten
daS Nämliche bleibt, wenn statt ganzer nnd positiver negative oder
auch gebrochene Werthe des Exponenten angenommen werden, so
nnterscheidet sich doch die Entwickelung von (1 -1- x)» in beiden letz
ten Fällen wesentlich dadurch, daß sie nicht in geschlossener, son
dern nur in unendlicher oder unbegränzter Reihen form er
scheinen kann. Denn sei 1) der Exponent n = — m, so wird seine
fortgesetzte Abnahme (nach §. 170.) zu einer fortgesetzten Zunahme
der negativen Zahl m, also das Verschwinden irgend eines spä
tern Binomialcoefsicienten unmöglich. Sei ferner 2) der Exponent
— so wird jene fortgesetzte Verminderung um ganze Einheiten
diesen gebrochenen Zahlenwerth eben so wenig jemals erschöpfen, mit
hin keiner der Coefficienten — 0 werden können. Durch wirkliche
Entwickelung beider Potenzformen des Binoms erhält man nach
einigen Umformungen die Reihen!
I. (1-|-x)-° — 1— nx-f
n(u-t-l) n(n-+-l)(n-+-2)
1 . 2
ii (n
1.2.3
x 3 -f-.
in) n(n—in)(n—2m)
-x 2 H—— 5^—^—x
II (1-f-x) m — 1H x —i ^—\ -j ñ ñ ~r
v ' 1 m in . 2in m . 2m . 3m
welche nach dem, aus ihren ersten Gliedern leicht erkennbaren, Bil
dungsgesetze bis zu jedem beliebigen Kten Gliede nnbegränzt erweitert
werden können.
Die unbegränzte Form beider hier betrachteten Binominalreihen
folgt übrigens schon aus der Bedeutung einer Potenz mit ne
gativem oder gebrochenem Exponenten (nach §. 114.) indem für
die Ausdrücke'
>•
II. (1 *+- x)üT = \/ (1-s-x)»
nach den Vorschriften der Division und Wurzelausziehung
keine geschlossene Resultate hervorgehen können. Aufg. 15, 16. §. 184.
§. 175. Convergenz der Binomialreihe. Soll eine der
beiden obigen Formen einer unbegränzte» Binominalreihe zu an
nähernder Berechnung irgend eines bestimmten Zahlenwerthes
gebraucht werden, so darf dieses nur dann geschehen, wenn man sich
von ihrer Convergenz überzeugt hat. Nun ist aber der Bestim-
mungsquotient Q, (nach §. 168):
ur die Reihe I. Ñ ----- x ( — = - x (l +