2 Capitel. Reihen-Entwickelung. 
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H. 176. 
(l H -l)k = lk k, l k 1 _|— k 3 lk-2 + k s lk-3 + !C . 
(2+l)k = 2k -h k, 2 k_ i + k 2 2k-2 + k, 2k-- 4- :c. 
(34-l) k — 3k 4- k, 3 k — 1 4- k 2 3 t -2 4-k J 3 k -s + je. 
(nH-l) k = n k 4- k, n k — 1 4- k 2 n k — 2 4- k 3 n k — 3 4- K. 
also durch Summirung und nach Aufhebung der gleichen Glieder auf 
beiden Seiten: 
(A) (n4-l) k — 1+k, ^(ü k -04-k 2 ^(nk-2)4-k J ^(n k -3)4-:c. 
indem man nämlich dlirch ^(n k ) die Summe aller ktcn Potenzen 
der Zahlen 1, 2 ... u andeutet. Unter der Annahme nun, daß 
k eine beliebige (ganze oder gebrochene) positive Zahl sei, ist 
1 k 2 k 3 k n k , also (l k 4-2 k 4-3 k . . .4-u k )<n.n k 
d. h. ^(n k )<n k+1 , folglich ^(nk— 2 )-<n k — 1 oder = ß . u k— >, 
wenn man durch ß einen ächten Brn ch bezeichnet. Eben so lassen 
sich ^(u k --), ^ (nk—4) . . . durch ß‘ . u k - 2 , ß" . n k ~3 ausdrücken, 
wodurch die (A) Gleichung folgende Gestalt erhält: 
(B) (n4-l) k =l4-k 1 ^(u k -i)4-k 2 /?.u k -i4-k 3 /S / .n k — 2 4-K. 
Wird diese Gleichung nun in ihren sämmtlichen Gliedern durch 
u k dividirt und dann n unendlich groß angenommen, so reducirt 
sie sich auf 
(C) 1 = 
(n k —!) 
oder - (u k —1)== -j^, 
ein Ausdruck für die Summirung gleich hoher Potenzen der natür 
lichen Zahlen, sofern die Reihe derselben unendlich groß angenommen 
wird, von welchem man in Fällen, wo Größen in eine unendliche 
Menge kleiner Theile zerlegt gedacht werden, vielfache Anwendung 
macht. (Vergl. die Anmerkung zu §. 143.) 
III. Exponentialreihe. 
§. 176. Exponentialreihe. Wenn im Vorhergehenden für 
die Reihe des entwickelten Binoms (1 + x)“ dessen zweiter Theil 
die Grundzahl, der Exponent hingegen deren Coefficienten lieferte, 
so läßt sich umgekehrt eben sowohl eine Entwickelung der Form 
(l+i) ü denken, deren Glieder nach den Potenzen des Exponenten 
fortschreiten und ihre Coefficienten, aus dem zweiten Theile des Bi 
noms gebildet, erhalten. Man kann eine solche Entwickelung eine 
Exponentialreihe nennen, insofern der Exponent die Grund 
zahl bildet, nach deren Potenzen sie fortschreitet. Die Anwendung 
des binomischen Lehrsatzes auf die Potenzform (I 4- z) x liefert 
die Reihe: