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1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithm. 177. 
1 ■+• x, z + x 2 z 2 + x j z 3 + x 4 z 4 H—... -+- Xk z k . . . 
welche bei der völligen Unbestimmtheit des Exponenten als nnbegränzt 
angesehen werden muß. Um ihr die Gestalt einer Anordnung nach 
den Potenzen der Grundzahl x zu ertheilen, so daß 
(1 H- z) x = 1 Ax -f- Bx 2 H- Cx 3 H- . . . + Mx k .. . 
entwickelt erscheine, suche man vor Allem den Coefstcienten A zu be 
stimmen. Offenbar wird dieser Coefstcient selbst eine unendliche Reihe 
da er aus allen Gliedern der obigen Binomial-Entwickelung einen 
Beitrag erhält; nämlich aus 
X, z = x . z den Beitrag 
X (x — 1) „ _ z 2 z 2 Z 3 
X s z —— 1 2 * — 2 x ^x. ........ — ^ * 
x (x — 1) (x — 2) z 3 z 3 z 3 z 3 
*■ = 1.2.3 = 6 x ‘ ~ 2 X ’ + 1T X- •+T 
Allgemein liefert das kte Glied nach dem anfänglichen: 
x (x—1) (x—2) . . . (x k—f-1) 
Xk Z" 
2 . 3 . . . k 
dessen entwickeltes Product mit x(—1) (—2)..(—k—|— 1) y^ ^ j- 
schließen muß, indem man 
(-1). (-2)... (- k -+-1) == (1 • 2.3... k-1) (—l)k-i 
setzt, als Beitrag zu dem Coefstcienten A: 
(1.2.3....k-1) (-l)k-i.zk , _ , z k 
Il2.3 k =(— 1 ) k_1 . 
so daß die Reihe, wodurch der Cofficient von x in der Entwickelung 
von (1-j-z) x ausgedrückt wird, folgende ist: 
Die Werthe der folgenden Coefstcienten B, C, D je. ließen sich aller 
dings auf demselben Wege finden; indessen wird ihre Bestimmung 
dann viel beschwerlicher sein, als wenn man sie auf folgende Art re- 
currirend auseinander abzuleiten sucht. 
§. 177. Exponential-Coefficienten. Wird die Entwik- 
kelung von 
(14-z)* =l+Ax+Bx 2 + Cx 3 ....H-Lxk-i+Mxk ... 
oder (l -j- z)y — 1 —j— Ay —(— By 2 —f— Cy 3 .«,. —Lyk i —IVIyk ,,. 
gesetzt, so entstehen durch Einführung dieser hypothetischen Form der 
Exponentialreihe in die identische Gleichung 
(l-t-z)x . (l-i-z)y = (l-f-zjx+y 
folgende gleichbedeutende Entwickelungen: 
1. (l+Ax-f-Bx 2 + Cx 3 +K.) (1+Ay+By 3 + Cy 3 +jc.) 
= l+A(x+y)+B(x 2 +y)+C(x 3 +y>)+D(x 4 +y 4 )+.. 
H“ A 2 xy+AB(x 2 y-i-xy 2 ) +AC(x 3 y-f-xy 3 )-j-.,, 
-+-AL (x k ~i y+ x yk—i) Hl- j c.