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H. 178 2. Capitel. Reihen-Entwickelung. 
II. l-+-Ä(x+y)H-B(x-I-y 2 )H-C(x+y) s ....-f-MCx+y) k .... 
= l-f-A(x-f-y)-f-B(x 2 -f-y 2 )-f-C(x 3 -|-y 3 )-l-D(x 4 +y 4 )+.. 
-f-2Bxy-f-3C(x 2 y-f-xy 2 )-f-4D(x 3 y-f-xy 3 ) + ... 
-f- k M (x k ~ 1 y + s y k ~•) -f- 2 c. 
Durch Gleichsetzung der entsprechenden Coefstcienten beider identischen 
Reihen erhält man (»ach §. 166.) die Bestimmungsgleichungen: 
A 2 
2B — A 2 , also B = - 
AB 
3C — AB, also C = -3- 
4D — AC, also D = ^ 
“ 1.2 
\ A 3 
3 “ 1.2.3 
4 ~~ 1.23.4 
Die Allgemeinheit dieses einfachen Gesetzes für die Bildung der Ex 
ponential - Coefficientcu bestätigt sich dadurch, daß, wenn man den- 
annimmt, nach 
der Gleichung kM = AL in der That 
sich ergiebt. Demnach ist die gesuchte Entwickelung: 
A 2 A 3 
A 4 
1.2.3.4 
I. (1+^= 1 + Ax+ f2 xi +fY3 x 4 
der in Function von z bestimmte Werth des ersten Eoefficienten aber 
nach dem Vorhergehenden: 
Dieser erste Coefficient in der Exponentialreihe, der sich nicht ändert, 
so lange in der Potenz (l-i-z) x die Basis (1-f-z) die nämliche 
bleibt, welche Werthe man auch dem Exponenten ertheilen möge, und 
von dem alle folgenden Coefstcienten nach einem sehr einfachen Ge 
setze bestimmt werden, heißt der Modulus der Reihe. 
§. 178. Converge»; der Exponentialreihe. Durch die 
Annahme regelmäßig zunehmender Werthe für den Exponenten x und 
eines beständigen Werthes für die Basis (1-f-z) der Potenzform 
(I-f-z) x würde man bei wirklicher Berechnung ein Potenzsystem, 
d. h. eine geordnete Reihe zusanunmengehöriger Exponenten und Po 
tenzen erhalten. Zu einer solchen Berechnung erscheint nun die Ex 
ponentialreihe für jeden beliebigen Werth des Modulus A, so wie 
des Exponenten x fähig, da der allgemeine Quotient zwei auf ein 
ander folgender Glieder: