218 1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithmetik. §. 208. 
bei der Aufsuchung des grössten gemeinschaftlichen Maaßes 
zweier Zahlen (nach §. 15.) anwendet. Sei nämlich bei der Division 
von A durch B der Quotient — a und der Rest = 6, also 
A = aB + C oder -j£- = a + -jjj- 
und eben so B = bC + D . . . -5- — b + 
C = cD + E . . .^= C+ A 
D = d E + F . . . = d -I- -jj- ll. f. w. 
so ergiebt sich durch allmählige Substitution, weil 
ist, die obige Form des Werthes von worin die Zähler aller, sie 
bildenden, einfachen Bruche —1, und die Nenner ganze Zahlen 
+ 1 sind. Sind A und B ganze Zahlen, so muß man bei fortge 
setzter Division der Divisoren durch die Reste (nach §. 15.) endlich 
0 als Rest, und folglich einen geschlossenen Kettenbruch erhalten; 
sind sie irrational, so läßt sich derselbe nur für einen Näherungs- 
\ 
werth des Bruches^- und deshalb nie vollständig nennen. 
Form 
Hat man sich auch allgemeiner einen Kettenbruch unter der 
a+a 
b + ß 
c~\~y ll. s. w. 
zu denken, so ist doch die obige specielle Form schon wegen ihrer 
Entstehung, als die wichtigste zu betrachten. Beispiele derselben sind: 
3307 
1) 
764 
= 4 + 1 
3+1 
22+1 
1 + 1 
1/27 
2) 3 
1/16 
5,19615 . .. 
2,51984 ... 
4+1^ 
2 
2+1 
16+1 
9+1 
1 —f- K. 
(Aufg. 21, 22, §. 216.) 
§. 208. Näherungswerth eines Kettenbruchs. Setzt 
man, um die allmähligen Näherungswerthe eines KettenbruchS